Azərbaycan
Deutschland
Lietuva
Malta
ශ්රී ලංකාව
Türkmenistan
Türkiyə
Украина
Ein Körper ist in der Geometrie eine Figur im dreidimensionalen euklidischen Raum die durch ihre Oberfläche beschrieben
Geometrischer Körper
Ein Körper ist in der Geometrie eine Figur im dreidimensionalen euklidischen Raum, die durch ihre Oberfläche beschrieben werden kann. Die Oberfläche eines Körpers kann dabei aus flachen oder gekrümmten Flächenstücken zusammengesetzt sein. Besteht die Oberfläche eines Körpers nur aus ebenen Flächenstücken, handelt es sich um einen Polyeder. Zur Berechnung des Volumens und des Oberflächeninhalts vieler geometrischer Körper gibt es mathematische Formeln (siehe Formelsammlung Geometrie). Genauer gesagt heißt eine geometrische Figur der soeben beschriebenen Art dreidimensionaler Körper, da diese Begriffsbildung auch auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden kann.
Definition
Geometrische Körper können auf verschiedene Weise mathematisch definiert werden. Wird der dreidimensionale Raum als Punktmenge aufgefasst, dann ist ein Körper eine Teilmenge dieser Punkte, die bestimmte Eigenschaften erfüllt.
In der Stereometrie ist ein Körper eine beschränkte dreidimensionale Teilmenge des dreidimensionalen Raums, die allseitig von endlich vielen ebenen oder gekrümmten Flächenstücken begrenzt wird, einschließlich dieser Begrenzungsflächen. Eine Menge heißt dabei beschränkt, wenn es eine entsprechend große Kugel gibt, die die Menge vollständig umfasst. Die Vereinigung der Punkte aller begrenzenden Flächenstücke bildet die Oberfläche des Körpers. Die Oberfläche eines Körpers zerlegt den Raum in zwei getrennte Teilmengen, wobei das Innere des Körpers diejenige Teilmenge ist, die keine Gerade enthält.
In der geometrischen Modellierung ist ein Körper eine beschränkte und reguläre Teilmenge des dreidimensionalen Raums. Eine Menge heißt dabei regulär, wenn sie gleich dem Abschluss ihres Inneren ist. Diese Bedingung stellt sicher, dass ein Körper ein Kompaktum ist, welches seinen Rand umfasst und vollständig dreidimensional ist, also keine Bereiche niedrigerer Dimension aufweist. Man spricht an dieser Stelle auch von der Homogenität eines Körpers. Nach dieser Definition kann ein Körper auch aus mehreren, nicht miteinander verbundenen Komponenten bestehen.
Die Oberfläche eines Körpers kann ebenfalls aus mehreren, nicht miteinander verbundenen Teilen bestehen. Indem diesen Teilflächen jeweils eine Orientierung zugewiesen wird, kann ein Körper auch über seine Oberfläche beschrieben werden. Man spricht dann auch von der Oberflächendarstellung (boundary representation) des Körpers.
Beispiele
Die bekanntesten Beispiele für Körper sind die Platonischen Körper, bestehend aus
- Tetraeder (Vierflächner, Oberfläche aus vier Dreiecken)
- Hexaeder (Sechsflächner, Oberfläche aus sechs Quadraten) – der Würfel
- Oktaeder (Achtflächner, Oberfläche aus acht Dreiecken)
- Dodekaeder (Zwölfflächner, Oberfläche aus zwölf Fünfecken) – auch Pentagondodekaeder genannt, um auf die Oberfläche aus Fünfecken als seine Besonderheit hinzuweisen
- Ikosaeder (Zwanzigflächner, Oberfläche aus zwanzig Dreiecken)
Diese Körper beziehen sich auf die deckungsgleichen (kongruenten) Flächeneigenschaften.
Andere Beispiele für geometrische Körper sind die Kugel, der Zylinder, der Kegel, der Torus und die Pyramide (besonders erwähnt, da das Tetraeder nur vier Seiten hat, die Pyramide fünf).
Typen geometrischer Körper
Polyeder
Ein Polyeder ist ein geometrischer Körper, dessen Grenzflächen Polygone sind. Zu den bekanntesten Polyedern gehören die regelmäßigen Polyeder. Das sind die dreidimensionalen, von regelmäßigen Vielecken begrenzten Vielflächner, deren Kanten nur nach außen zeigen und die nicht unendlich groß sind, wie beispielsweise der Würfel, der Tetraeder oder auch der sogenannte Fußballkörper. Von diesen Körpern gibt es nur fünf Arten: die platonischen Körper, die mit sich selbst oder untereinander dual sind, die archimedischen Körper und die dazu dualen catalanischen Körper sowie die Johnson-Körper. Dazu kommen die Prismen und die Antiprismen. Es gibt nur fünf regelmäßige Polyeder, mit denen alleine eine lückenlose Raumfüllung möglich ist: Würfel, dreieckiges und sechseckiges Prisma, verdrehter Doppelkeil und Oktaederstumpf.
Konvexe Körper
Ist ein geometrischer Körper zudem konvex, so spricht man von einem konvexen Körper. Alle regelmäßigen Polyeder sind konvex. Konvexe Körper können aber auch durch Normen abgeleitet werden, zum Beispiel den p-Normen.
Rotationskörper
Körper, deren Oberfläche durch die Rotation einer Kurve um eine bestimmte Achse konstruiert werden, bezeichnet man als Rotationskörper. Jede Schnittfläche, die orthogonal zur Rotationsachse liegt, hat eine kreis- oder kreisringförmige Gestalt. Hierzu gehören Kugel, Zylinder, Kegel, Kegelstumpf, Torus und Rotationsellipsoid. Die Kugel nimmt insofern eine Sonderstellung ein, weil jede Gerade durch ihren Mittelpunkt eine Rotationsachse ist.
Weiteres
- Zur Veranschaulichung von Körpern finden Körpernetze, (physische) Körpermodelle und Software-Anwendungen für dynamische Raumgeometrie und CAD Verwendung.
- Die Geometrie kennt Formeln zur Berechnung von Oberfläche und Volumen vieler Körper.
- Symmetrieeigenschaften einzelner Körper lassen sich in der Gruppentheorie darstellen.
- Kristalle sind aus (idealisierten) Elementarzellen aufgebaut, die sich als geometrische Körper verstehen lassen.
Literatur
- Tommy Bonnesen, Werner Fenchel: Theorie der konvexen Körper. Berichtigter Reprint. Springer-Verlag, 1974, ISBN 978-3-540-06234-9 ((zbMATH Open)).
- Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, S. 341–342.
Siehe auch
- Fraktal
- Geometrische Figur
Weblinks
- Umfangreiche Liste mathematischer Körper in der englischen Wikipedia
Einzelnachweise
- Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 1998, ISBN 3-87144-336-0, S. 298.
- Max K. Agoston: Computer Graphics and Geometric Modelling: Implementation & Algorithms. Springer, 2005, ISBN 1-84628-108-3, S. 158.
- Leila de Floriani, Enrico Puppo: Representation and conversion issues in solid modelling. In: George Zobrist, C Y Ho (Hrsg.): Intelligent Systems and Robotics. CRC Press, 2000, ISBN 90-5699-665-7.
Autor: www.NiNa.Az
Veröffentlichungsdatum:
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele, Mobiltelefon, Mobil, Telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, komputer, Informationen zu Geometrischer Körper, Was ist Geometrischer Körper? Was bedeutet Geometrischer Körper?
Ein Korper ist in der Geometrie eine Figur im dreidimensionalen euklidischen Raum die durch ihre Oberflache beschrieben werden kann Die Oberflache eines Korpers kann dabei aus flachen oder gekrummten Flachenstucken zusammengesetzt sein Besteht die Oberflache eines Korpers nur aus ebenen Flachenstucken handelt es sich um einen Polyeder Zur Berechnung des Volumens und des Oberflacheninhalts vieler geometrischer Korper gibt es mathematische Formeln siehe Formelsammlung Geometrie Genauer gesagt heisst eine geometrische Figur der soeben beschriebenen Art dreidimensionaler Korper da diese Begriffsbildung auch auf hohere Dimensionen verallgemeinert werden kann Beispiele fur geometrische Korper Kugel Pyramide Wurfel Volltorus Hohlzylinder Kreiszylinder Kegel und ein verknoteter Volltorus Ecke Kante und Flache eines WurfelsDefinitionGeometrische Korper konnen auf verschiedene Weise mathematisch definiert werden Wird der dreidimensionale Raum als Punktmenge aufgefasst dann ist ein Korper eine Teilmenge dieser Punkte die bestimmte Eigenschaften erfullt In der Stereometrie ist ein Korper eine beschrankte dreidimensionale Teilmenge des dreidimensionalen Raums die allseitig von endlich vielen ebenen oder gekrummten Flachenstucken begrenzt wird einschliesslich dieser Begrenzungsflachen Eine Menge heisst dabei beschrankt wenn es eine entsprechend grosse Kugel gibt die die Menge vollstandig umfasst Die Vereinigung der Punkte aller begrenzenden Flachenstucke bildet die Oberflache des Korpers Die Oberflache eines Korpers zerlegt den Raum in zwei getrennte Teilmengen wobei das Innere des Korpers diejenige Teilmenge ist die keine Gerade enthalt In der geometrischen Modellierung ist ein Korper eine beschrankte und regulare Teilmenge des dreidimensionalen Raums Eine Menge heisst dabei regular wenn sie gleich dem Abschluss ihres Inneren ist Diese Bedingung stellt sicher dass ein Korper ein Kompaktum ist welches seinen Rand umfasst und vollstandig dreidimensional ist also keine Bereiche niedrigerer Dimension aufweist Man spricht an dieser Stelle auch von der Homogenitat eines Korpers Nach dieser Definition kann ein Korper auch aus mehreren nicht miteinander verbundenen Komponenten bestehen Die Oberflache eines Korpers kann ebenfalls aus mehreren nicht miteinander verbundenen Teilen bestehen Indem diesen Teilflachen jeweils eine Orientierung zugewiesen wird kann ein Korper auch uber seine Oberflache beschrieben werden Man spricht dann auch von der Oberflachendarstellung boundary representation des Korpers BeispieleDie bekanntesten Beispiele fur Korper sind die Platonischen Korper bestehend aus Tetraeder Vierflachner Oberflache aus vier Dreiecken Hexaeder Sechsflachner Oberflache aus sechs Quadraten der Wurfel Oktaeder Achtflachner Oberflache aus acht Dreiecken Dodekaeder Zwolfflachner Oberflache aus zwolf Funfecken auch Pentagondodekaeder genannt um auf die Oberflache aus Funfecken als seine Besonderheit hinzuweisen Ikosaeder Zwanzigflachner Oberflache aus zwanzig Dreiecken Diese Korper beziehen sich auf die deckungsgleichen kongruenten Flacheneigenschaften Andere Beispiele fur geometrische Korper sind die Kugel der Zylinder der Kegel der Torus und die Pyramide besonders erwahnt da das Tetraeder nur vier Seiten hat die Pyramide funf Typen geometrischer KorperPolyeder Hauptartikel Polyeder Ein Polyeder ist ein geometrischer Korper dessen Grenzflachen Polygone sind Zu den bekanntesten Polyedern gehoren die regelmassigen Polyeder Das sind die dreidimensionalen von regelmassigen Vielecken begrenzten Vielflachner deren Kanten nur nach aussen zeigen und die nicht unendlich gross sind wie beispielsweise der Wurfel der Tetraeder oder auch der sogenannte Fussballkorper Von diesen Korpern gibt es nur funf Arten die platonischen Korper die mit sich selbst oder untereinander dual sind die archimedischen Korper und die dazu dualen catalanischen Korper sowie die Johnson Korper Dazu kommen die Prismen und die Antiprismen Es gibt nur funf regelmassige Polyeder mit denen alleine eine luckenlose Raumfullung moglich ist Wurfel dreieckiges und sechseckiges Prisma verdrehter Doppelkeil und Oktaederstumpf Konvexe Korper Hauptartikel Konvexer Korper Ist ein geometrischer Korper zudem konvex so spricht man von einem konvexen Korper Alle regelmassigen Polyeder sind konvex Konvexe Korper konnen aber auch durch Normen abgeleitet werden zum Beispiel den p Normen Rotationskorper Hauptartikel Rotationskorper Korper deren Oberflache durch die Rotation einer Kurve um eine bestimmte Achse konstruiert werden bezeichnet man als Rotationskorper Jede Schnittflache die orthogonal zur Rotationsachse liegt hat eine kreis oder kreisringformige Gestalt Hierzu gehoren Kugel Zylinder Kegel Kegelstumpf Torus und Rotationsellipsoid Die Kugel nimmt insofern eine Sonderstellung ein weil jede Gerade durch ihren Mittelpunkt eine Rotationsachse ist WeiteresZur Veranschaulichung von Korpern finden Korpernetze physische Korpermodelle und Software Anwendungen fur dynamische Raumgeometrie und CAD Verwendung Die Geometrie kennt Formeln zur Berechnung von Oberflache und Volumen vieler Korper Symmetrieeigenschaften einzelner Korper lassen sich in der Gruppentheorie darstellen Kristalle sind aus idealisierten Elementarzellen aufgebaut die sich als geometrische Korper verstehen lassen LiteraturTommy Bonnesen Werner Fenchel Theorie der konvexen Korper Berichtigter Reprint Springer Verlag 1974 ISBN 978 3 540 06234 9 zbMATH Open Fachredaktion des Bibliographischen Instituts Hrsg Duden Rechnen und Mathematik Das Lexikon fur Schule und Praxis Bearbeitet von Prof Dr Harald Scheid 4 Auflage Bibliographisches Institut Mannheim Wien Zurich 1985 S 341 342 Siehe auchFraktal Geometrische FigurWeblinksCommons Korper Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Wiktionary Korper Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Umfangreiche Liste mathematischer Korper in der englischen WikipediaEinzelnachweiseWalter Gellert Herbert Kastner Siegfried Neuber Hrsg Fachlexikon ABC Mathematik Harri Deutsch Thun Frankfurt am Main 1998 ISBN 3 87144 336 0 S 298 Max K Agoston Computer Graphics and Geometric Modelling Implementation amp Algorithms Springer 2005 ISBN 1 84628 108 3 S 158 Leila de Floriani Enrico Puppo Representation and conversion issues in solid modelling In George Zobrist C Y Ho Hrsg Intelligent Systems and Robotics CRC Press 2000 ISBN 90 5699 665 7 Normdaten Sachbegriff GND 4129863 9 GND Explorer lobid OGND AKS