Großes Rhombenikosidodekaeder

Das Große Rhombenikosidodekaeder (auch Ikosidodekaederstumpf genannt) ist ein Polyeder, das zu den archimedischen Körpern zählt. Es setzt sich aus 30 Quadraten, 20 regelmäßigen Sechsecken sowie 12 regelmäßigen Zehnecken zusammen und hat 120 Ecken sowie 180 Kanten. Der duale Körper ist das Hexakisikosaeder.

Polyeder Großes Rhombenikosidodekaeder
3D-Ansicht eines Ikosidodekaederstumpfs (Animation)
Anzahl der Seitenflächen	62
Art der Seitenflächen	30 Quadrate, 20 Sechsecke, 12 Zehnecke
Anzahl Ecken	120
Art der Ecken	120 × {4.6.10}
Anzahl Kanten	180
Symmetriegruppe	Ikosaedergruppe ${\displaystyle I_{h}}$
Schläfli-Symbol
dual zu	Hexakisikosaeder
Körpernetz eines Großen Rhombenikosidodekaeders

Die auf Johannes Kepler zurückgehende Bezeichnung Ikosidodekaederstumpf ist missverständlich, da beim Abstumpfen eines Ikosidodekaeders Rechtecke entstehen, die keine Quadrate sind.

Kartesische Koordinaten

Durch die geraden Permutationen von

$${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{\Phi }},\pm {\frac {1}{\Phi }},\pm (3+\Phi )\right),}$$

$${\displaystyle \left(\pm {\frac {2}{\Phi }},\pm \Phi ,\pm (1+2\Phi )\right),}$$

$${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{\Phi }},\pm \Phi ^{2},\pm (-1+3\Phi )\right),}$$

$${\displaystyle {\big (}\pm (2\Phi -1),\pm 2,\pm (2+\Phi ){\big )},}$$

$${\displaystyle \left(\pm \Phi ,\pm 3,\pm 2\Phi \right)}$$

erhält man die kartesischen Koordinaten der Ecken eines großen Rhombenikosidodekaeders mit Mittelpunkt im Ursprung und Kantenlänge ${\displaystyle 2\Phi -2}$. Dabei ist ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$ das Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Formeln

Größen eines Ikosidodekaederstumpfs mit Kantenlänge a
Volumen	${\displaystyle V=5a^{3}\left(19+10{\sqrt {5}}\right)}$
Oberflächeninhalt	${\displaystyle A_{O}=30a^{2}\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)}$
Umkugelradius	${\displaystyle R={\frac {a}{2}}{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}}$
Kantenkugelradius	${\displaystyle r={\frac {a}{2}}{\sqrt {30+12{\sqrt {5}}}}}$
1. Flächenwinkel  (Hexagon–Quadrat)  ≈ 159° 5′ 41″	${\displaystyle \cos \,\alpha _{1}=-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$
2. Flächenwinkel  (Dekagon–Quadrat)  ≈ 148° 16′ 57″	${\displaystyle \cos \,\alpha _{2}=-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}}$
3. Flächenwinkel  (Dekagon–Hexagon)  ≈ 142° 37′ 21″	${\displaystyle \cos \,\alpha _{3}=-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}}$
Eckenraumwinkel  = 1,5 π	${\displaystyle \Omega =\,2\pi -\arccos 0}$
Sphärizität  ≈ 0,97031	${\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{900\,\pi \left(861+380{\sqrt {5}}\right)}}{30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)}}}$

Weblinks

Commons: Ikosidodekaederstumpf – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Ikosidodekaederstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Großes Rhombenikosidodekaeder. In: MathWorld (englisch).

Archimedische Körper

Tetraederstumpf · Kuboktaeder · Hexaederstumpf · Oktaederstumpf · Rhombenkuboktaeder · Kuboktaederstumpf · Ikosidodekaeder · Dodekaederstumpf · Ikosaederstumpf · Abgeschrägtes Hexaeder · Rhombenikosidodekaeder · Ikosidodekaederstumpf · Abgeschrägtes Dodekaeder