Körperhomomorphismus

In der Mathematik, insbesondere in der Algebra, ist ein Körperhomomorphismus eine strukturerhaltende Abbildung zwischen so genannten Körpern.

Definition

Seien ${\displaystyle (K;+_{K};*_{K})}$ und ${\displaystyle (L;+_{L};*_{L})}$ zwei Körper.

• Eine Funktion ${\displaystyle f\colon K\to L}$ heißt Körperhomomorphismus, falls sie folgende Axiome erfüllt:

1. ${\displaystyle f(0_{K})=0_{L}}$ sowie ${\displaystyle f(1_{K})=1_{L}}$
2. ${\displaystyle \forall a;b\in K\colon f(a+_{K}b)=f(a)+_{L}f(b)}$
3. ${\displaystyle \forall a;b\in K\colon f(a*_{K}b)=f(a)*_{L}f(b)}$

Es ist daher unerheblich, ob Elemente zunächst in ${\displaystyle K}$ verknüpft werden und das Ergebnis anschließend durch einen Homomorphismus abgebildet wird, oder ob die Verknüpfung der entsprechenden Funktionswerte erst in ${\displaystyle L}$ geschieht.

• Ein bijektiver Körperhomomorphismus heißt Körperisomorphismus.

Körper, zwischen denen ein Isomorphismus existiert, in Zeichen ${\displaystyle K\cong L}$, sind aus Sicht der (abstrakten) Algebra ununterscheidbar.

• Ein Körperisomorphismus ${\displaystyle f\colon K\to K}$ eines Körpers in sich selbst heißt Körperautomorphismus.

In der Galois-Theorie beschäftigt man sich speziell mit Körperautomorphismen, die einen gegebenen Unterkörper invariant lassen.

Eigenschaften

• Jeder Körper ist insbesondere ein Ring mit Eins. Entsprechend ist ein Körperhomomorphismus ${\displaystyle f\colon K\to L}$ lediglich ein Ringhomomorphismus, für den zusätzlich gefordert wird, dass ${\displaystyle f(1)=1}$ gilt. Insbesondere induziert ${\displaystyle f}$ sowohl einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle f\colon (K,+)\to (L,+)}$ der additiven Gruppen als auch einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle f\colon (K\setminus \{0\},\cdot )\to (L\setminus \{0\},\cdot )}$ der multiplikativen Gruppen.
• Ein Körperhomomorphismus ${\displaystyle f\colon K\to L}$ ist immer injektiv: Da der Kern eines Ringhomomorphismus ein Ideal ist, aber der Körper ${\displaystyle K}$ nur die trivialen Ideale ${\displaystyle \{0\}}$ und ${\displaystyle K}$ besitzt, muss wegen ${\displaystyle f(1)\neq 0}$ somit ${\displaystyle \ker f=\{0\}}$ gelten. Daher ist ${\displaystyle f}$ injektiv.
• Ein Körperautomorphismus ${\displaystyle f\colon K\to K}$ lässt stets zumindest den Primkörper von ${\displaystyle K}$ invariant.

Beispiele

• Die komplexe Konjugation ist ein Körperautomorphismus des Körpers ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen, der den Unterkörper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen invariant lässt.
• Für einen Körper, dessen Charakteristik ${\displaystyle p}$ eine Primzahl ist, ist der Frobenius-Homomorphismus ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ ein Körperendomorphismus, der einen zu ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ isomorphen Unterkörper fest lässt. Ist der Körper endlich, so ist diese Abbildung sogar ein Körperautomorphismus.
• Primkörper, zum Beispiel ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, haben mit Ausnahme der Identitätsabbildung keine Körperautomorphismen.

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-40388-4.
• Falko Lorenz: Einführung in die Algebra. Teil I. Bibliographisches Institut, Mannheim 1987, ISBN 3-411-03171-9.