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Eine logische Äquivalenz liegt vor wenn zwei logische Ausdrücke den gleichen Wahrheitswert besitzen Der Ausdruck Äquival
Logische Äquivalenz
Eine logische Äquivalenz liegt vor, wenn zwei logische Ausdrücke den gleichen Wahrheitswert besitzen.
Der Ausdruck Äquivalenz wird in der Logik mehrdeutig verwendet:
- zum einen im Sinne der materialen Äquivalenz (Bikonditional)
- zum anderen im Sinne der formalen Äquivalenz (Logische Äquivalenz).
Bikonditional (materiale Äquivalenz) und logische Äquivalenz (formale Äquivalenz) sind wesentlich verschiedene Begriffe. Das Bikonditional ist ein Begriff der Objektsprache, die logische Äquivalenz ist ein Begriff der Metasprache. Die Begriffe sind jedoch aufeinander bezogen: die logische Äquivalenz ist ein allgemeingültiges Bikonditional.
Im Folgenden geht es nur um die logische Äquivalenz, nicht jedoch um das Bikonditional.
Terminologie und Synonymie
Soweit ersichtlich hat sich bislang keine feste Terminologie ausgebildet. Die Logische Äquivalenz wird auch (zumeist) logische Äquivalenz geschrieben und auch formale Äquivalenz oder schlicht Äquivalenz (mit der Verwechslungsgefahr mit der materialen Äquivalenz) genannt.
Begriff
Hier geht es nur um die logische Äquivalenz im Sinn der klassischen, zweiwertigen Logik.
Definition
Die logische Äquivalenz wird in zwei gleichwertigen definitorischen Grundformen definiert. Die Definition der logischen Äquivalenz erfolgt hier prototypisch für die aussagenlogische Äquivalenz. Daneben gibt es auch eine darauf aufbauende prädikatenlogische Äquivalenz.
Die logische Äquivalenz als Werteverlaufsgleichheit von Aussageformen
Eine logische Äquivalenz liegt vor, wenn zwei logische Ausdrücke den gleichen Wahrheitswert besitzen, gleichwertig sind, die gleichen Wahrheitswerte-Eintragungen in einer Wahrheitstabelle haben, „wenn sie dieselben Wahrheitsfunktionen beinhalten, d. h. dieselben möglichen Werte ein- bzw. ausschließen.“, wenn der Werteverlauf (Wahrheitstabelle) der beiden Aussagen gleich ist.
Allgemeiner formuliert – d. h. nicht auf Aussagenlogik beschränkt – sind zwei Aussagen P und Q der klassischen, zweiwertigen Logik genau dann äquivalent, wenn beide Aussagen unter jeder möglichen Interpretation denselben Wahrheitswert annehmen.
Die Logische Äquivalenz als allgemeingültiges Bikonditional
Eine logische Äquivalenz liegt vor, wenn ein Bikonditional wahr, allgemeingültig, eine Tautologie ist.
Je nach Terminologie oder Präzision der Terminologie geht es dabei um die logische Äquivalenz von Aussageformen oder , von Sätzen, von Teilsätzen, Aussagen, (komplexen) Aussagen oder Ausdrücken.
Die Metasprachlichkeit der logischen Äquivalenz
Der Begriff der logischen Äquivalenz ist metasprachlich bzw. . Mit ihm wird eine (Meta-)Aussage über die Beziehung (Relation) zweier Ausdrücke der Objektsprache getroffen.
Abgrenzungen
Materiale Äquivalenz (Bikonditional)
Von der Äquivalenz als metatheoretisches Konzept muss das Bikonditional als Operator (Junktor, Konnektiv) der jeweiligen logischen Objektsprache unterschieden werden, das ebenfalls oft als Äquivalenz bezeichnet wird. Diese Homonymie ist insofern unglücklich, als sie dazu verleitet, ein objekt- und ein metasprachliches Konzept zu verwechseln oder zu vermengen, und weil sie dazu zwingt, sehr genau darauf zu achten, was im jeweiligen Zusammenhang mit dem Wort „Äquivalenz“ gemeint ist. Einzelheiten: Bikonditional.
Definition
„Alle Definitionen haben die Form von logisch wahren Äquivalenzen.“
Mathematische Gleichung
Die Logische Äquivalenz beschreibt die Werteverlaufsgleichheit von Aussagen, analog dem Gleichheitszeichen in der Algebra. So sind zwei Aussagen A, B der klassischen Aussagenlogik genau dann logisch äquivalent, wenn der Werteverlauf (Wahrheitstabelle) der beiden Aussagen gleich ist.
„Die Funktion der Äquivalenzen in der Logik entspricht die Funktion der Gleichungen in der Mathematik.“
Beispiel für den Zusammenhang von logischer Äquivalenz und mathematischer Identität:
Für alle gilt
Schreib- und Sprechweisen
Für „A äquivalent B“ wird in der mathematischen Notation häufig ein Doppelter Pfeil nach Links und rechts verwendet (⇔, Unicode-Zeichen U+21D4 im Unicodeblock Pfeile)
Man sagt
- in der Mathematik:
- A ist äquivalent zu B
- A gilt genau dann, wenn B
- A gilt dann und nur dann, wenn B
- in der Logik:
- A ist logisch äquivalent zu B
- A ist werteverlaufsgleich mit B
- A ist logisch gleichwertig zu B
Man schreibt auch
- A gdw. B (genau dann, wenn)
- A iff. B (engl. if and only if)
- A = B .
Diese Schreib- und Sprechweise für die logische Äquivalenz ist abzugrenzen von der für das Bikonditional. Für die objektsprachliche Aussage „A genau dann wenn B“ (Bikonditional!) schreibt man in der Logik (unter anderem):
- oder
Die logische Äquivalenz als Relation und ihre Eigenschaften
Die „Äquivalenz ist eine Relation“ und zwar „eine Relation zwischen zwei Aussagen, die inhaltlich nicht gleich sind, aber stets gemeinsam entweder wahr oder falsch sind.“.
Die Äquivalenz kann dabei als eine „dreistellige Relation zwischen zwei Dingen und einer Eigenschaft“ oder als zweistellige Relation, die schon auf eine Eigenschaft relativiert ist, verwendet werden.
Die Äquivalenzrelation hat die Eigenschaften der Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
Satz
- In der klassischen Logik gilt das Metatheorem, dass zwei Sätze X und Y genau dann äquivalent sind, wenn das aus ihnen gebildete Bikonditional X ↔ Y eine Tautologie ist.
- Ist das Bikonditional nicht per Definition eingeführt, sondern als eigenständiger Junktor gemäß obiger Wahrheitstabelle, dann gilt das Metatheorem, dass die zwei Sätze der Form X ↔ Y und (X → Y) & (Y → X) äquivalent sind.
Siehe auch
- Implikation – hier wird auch der Unterschied zwischen objektsprachlicher und metasprachlicher Verwendung besonders gut herausgearbeitet
- Prädikatenlogik
Einzelnachweise
- Vgl. Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Äquivalenz: enge Beziehung
- Zoglauer, Thomas, Einführung in die formale Logik für Philosophen (1999), S. 47
- Salmon, Logik (1983), S. 88
- Spies, Einführung [2004], S. 32
- Seiffert, Logik (1971), S. 186
- Vgl. Hilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 11 f.
- Salmon, Logik (1983), S. 96; Bußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002)/Äquivalenz; Lohnstein, Formale Semantik (1996), S. 41
- Salmon, Logik (1983), S. 96; Hilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 11 f.
- Hilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 11 f.
- Spies, Einführung in die Logik (2004), S. 22
- Seiffert, Logik (1973), S. 186
- Bußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002)/Äquivalenz
- Lohnstein, Formale Semantik (1996), S. 41
- Zoglauer, Thomas, Einführung in die formale Logik für Philosophen (1999), S. 47
- Zoglauer, Thomas, Einführung in die formale Logik für Philosophen (1999), S. 43
- Reichenbach, Grundzüge der symbolischen Logik (1999), S. 36
- Zoglauer, Thomas, Einführung in die formale Logik für Philosophen (1999), S. 43
- Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Äquivalenz
- Seiffert, Wissenschaftstheorie IV (1997), Äquivalenz
- Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Äquivalenz
- Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Äquivalenz
- Hilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 12
Autor: www.NiNa.Az
Veröffentlichungsdatum:
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Eine logische Aquivalenz liegt vor wenn zwei logische Ausdrucke den gleichen Wahrheitswert besitzen Der Ausdruck Aquivalenz wird in der Logik mehrdeutig verwendet zum einen im Sinne der materialen Aquivalenz Bikonditional zum anderen im Sinne der formalen Aquivalenz Logische Aquivalenz Bikonditional materiale Aquivalenz und logische Aquivalenz formale Aquivalenz sind wesentlich verschiedene Begriffe Das Bikonditional ist ein Begriff der Objektsprache die logische Aquivalenz ist ein Begriff der Metasprache Die Begriffe sind jedoch aufeinander bezogen die logische Aquivalenz ist ein allgemeingultiges Bikonditional Im Folgenden geht es nur um die logische Aquivalenz nicht jedoch um das Bikonditional Terminologie und SynonymieSoweit ersichtlich hat sich bislang keine feste Terminologie ausgebildet Die Logische Aquivalenz wird auch zumeist logische Aquivalenz geschrieben und auch formale Aquivalenz oder schlicht Aquivalenz mit der Verwechslungsgefahr mit der materialen Aquivalenz genannt BegriffHier geht es nur um die logische Aquivalenz im Sinn der klassischen zweiwertigen Logik Definition Die logische Aquivalenz wird in zwei gleichwertigen definitorischen Grundformen definiert Die Definition der logischen Aquivalenz erfolgt hier prototypisch fur die aussagenlogische Aquivalenz Daneben gibt es auch eine darauf aufbauende pradikatenlogische Aquivalenz Die logische Aquivalenz als Werteverlaufsgleichheit von Aussageformen Eine logische Aquivalenz liegt vor wenn zwei logische Ausdrucke den gleichen Wahrheitswert besitzen gleichwertig sind die gleichen Wahrheitswerte Eintragungen in einer Wahrheitstabelle haben wenn sie dieselben Wahrheitsfunktionen beinhalten d h dieselben moglichen Werte ein bzw ausschliessen wenn der Werteverlauf Wahrheitstabelle der beiden Aussagen gleich ist Allgemeiner formuliert d h nicht auf Aussagenlogik beschrankt sind zwei Aussagen P und Q der klassischen zweiwertigen Logik genau dann aquivalent wenn beide Aussagen unter jeder moglichen Interpretation denselben Wahrheitswert annehmen Die Logische Aquivalenz als allgemeingultiges Bikonditional Eine logische Aquivalenz liegt vor wenn ein Bikonditional wahr allgemeingultig eine Tautologie ist Je nach Terminologie oder Prazision der Terminologie geht es dabei um die logische Aquivalenz von Aussageformen oder von Satzen von Teilsatzen Aussagen komplexen Aussagen oder Ausdrucken Die Metasprachlichkeit der logischen Aquivalenz Der Begriff der logischen Aquivalenz ist metasprachlich bzw Mit ihm wird eine Meta Aussage uber die Beziehung Relation zweier Ausdrucke der Objektsprache getroffen Abgrenzungen Materiale Aquivalenz Bikonditional Von der Aquivalenz als metatheoretisches Konzept muss das Bikonditional als Operator Junktor Konnektiv der jeweiligen logischen Objektsprache unterschieden werden das ebenfalls oft als Aquivalenz bezeichnet wird Diese Homonymie ist insofern unglucklich als sie dazu verleitet ein objekt und ein metasprachliches Konzept zu verwechseln oder zu vermengen und weil sie dazu zwingt sehr genau darauf zu achten was im jeweiligen Zusammenhang mit dem Wort Aquivalenz gemeint ist Einzelheiten Bikonditional Definition Alle Definitionen haben die Form von logisch wahren Aquivalenzen Mathematische Gleichung Die Logische Aquivalenz beschreibt die Werteverlaufsgleichheit von Aussagen analog dem Gleichheitszeichen in der Algebra So sind zwei Aussagen A B der klassischen Aussagenlogik genau dann logisch aquivalent wenn der Werteverlauf Wahrheitstabelle der beiden Aussagen gleich ist Die Funktion der Aquivalenzen in der Logik entspricht die Funktion der Gleichungen in der Mathematik Beispiel fur den Zusammenhang von logischer Aquivalenz und mathematischer Identitat Fur alle a b R displaystyle a b in mathbb R gilt x a b 2 x a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 displaystyle x a b 2 Leftrightarrow x a 2 2ab b 2 Rightarrow a b 2 equiv a 2 2ab b 2 Schreib und Sprechweisen Fur A aquivalent B wird in der mathematischen Notation haufig ein Doppelter Pfeil nach Links und rechts verwendet Unicode Zeichen U 21D4 im Unicodeblock Pfeile A B displaystyle A Leftrightarrow B Man sagt in der Mathematik A ist aquivalent zu B A gilt genau dann wenn B A gilt dann und nur dann wenn B in der Logik A ist logisch aquivalent zu B A ist werteverlaufsgleich mit B A ist logisch gleichwertig zu B Man schreibt auch A gdw B genau dann wenn A iff B engl if and only if A B Diese Schreib und Sprechweise fur die logische Aquivalenz ist abzugrenzen von der fur das Bikonditional Fur die objektsprachliche Aussage A genau dann wenn B Bikonditional schreibt man in der Logik unter anderem A B displaystyle A equiv B oder A B displaystyle A leftrightarrow B Die logische Aquivalenz als Relation und ihre EigenschaftenDie Aquivalenz ist eine Relation und zwar eine Relation zwischen zwei Aussagen die inhaltlich nicht gleich sind aber stets gemeinsam entweder wahr oder falsch sind Die Aquivalenz kann dabei als eine dreistellige Relation zwischen zwei Dingen und einer Eigenschaft oder als zweistellige Relation die schon auf eine Eigenschaft relativiert ist verwendet werden Die Aquivalenzrelation hat die Eigenschaften der Reflexivitat Symmetrie und Transitivitat SatzIn der klassischen Logik gilt das Metatheorem dass zwei Satze X und Y genau dann aquivalent sind wenn das aus ihnen gebildete Bikonditional X Y eine Tautologie ist Ist das Bikonditional nicht per Definition eingefuhrt sondern als eigenstandiger Junktor gemass obiger Wahrheitstabelle dann gilt das Metatheorem dass die zwei Satze der Form X Y und X Y amp Y X aquivalent sind Siehe auchImplikation hier wird auch der Unterschied zwischen objektsprachlicher und metasprachlicher Verwendung besonders gut herausgearbeitet PradikatenlogikEinzelnachweiseVgl Regenbogen Meyer Worterbuch der philosophischen Begriffe 2005 Aquivalenz enge Beziehung Zoglauer Thomas Einfuhrung in die formale Logik fur Philosophen 1999 S 47 Salmon Logik 1983 S 88 Spies Einfuhrung 2004 S 32 Seiffert Logik 1971 S 186 Vgl Hilbert Ackermann Grundzuge 6 Aufl 1972 S 11 f Salmon Logik 1983 S 96 Bussmann Lexikon der Sprachwissenschaft 3 Aufl 2002 Aquivalenz Lohnstein Formale Semantik 1996 S 41 Salmon Logik 1983 S 96 Hilbert Ackermann Grundzuge 6 Aufl 1972 S 11 f Hilbert Ackermann Grundzuge 6 Aufl 1972 S 11 f Spies Einfuhrung in die Logik 2004 S 22 Seiffert Logik 1973 S 186 Bussmann Lexikon der Sprachwissenschaft 3 Aufl 2002 Aquivalenz Lohnstein Formale Semantik 1996 S 41 Zoglauer Thomas Einfuhrung in die formale Logik fur Philosophen 1999 S 47 Zoglauer Thomas Einfuhrung in die formale Logik fur Philosophen 1999 S 43 Reichenbach Grundzuge der symbolischen Logik 1999 S 36 Zoglauer Thomas Einfuhrung in die formale Logik fur Philosophen 1999 S 43 Regenbogen Meyer Worterbuch der philosophischen Begriffe 2005 Aquivalenz Seiffert Wissenschaftstheorie IV 1997 Aquivalenz Regenbogen Meyer Worterbuch der philosophischen Begriffe 2005 Aquivalenz Regenbogen Meyer Worterbuch der philosophischen Begriffe 2005 Aquivalenz Hilbert 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