Mohrscher Trägheitskreis

Der Mohr’sche Spannungskreis oder kurz Mohr’sche Kreis, benannt nach Christian Otto Mohr, ist eine Möglichkeit, den 2D-Spannungszustand in einem Punkt eines Körpers zu veranschaulichen oder zu untersuchen, siehe Abbildung 1. Am Kreis kann beispielsweise abgelesen werden, in welchem Winkel β zur x-Achse die Hauptschubspannung τ_I und in welchem Winkel γ die Hauptspannungen σ_I,II auftreten, siehe dazu den Abschnitt Geometrische Zusammenhänge.

Neben dem Cauchy-Spannungstensor können auch andere symmetrische Tensoren mit dem Mohr’schen Kreis veranschaulicht oder untersucht werden, z. B. der Verzerrungstensor und der Trägheitstensor. Neben dem Mohr’schen Kreis gibt es auch andere Verfahren zur Veranschaulichung symmetrischer Tensoren, z. B. Ellipsoide wie Lamés Spannungsellipsoid oder Superquadriken, je nachdem der Tensor positiv definit ist oder nicht.

Seine Gleichung lautet im Spannungsraum, wo auf der Abszisse die Normalspannungen und auf der Ordinate die Schubspannungen aufgetragen sind:

${\displaystyle {\mathsf {(\sigma _{uu,vv}-\sigma _{m})^{2}+\sigma _{uv}^{2}=R^{2}}}}$

mit

${\displaystyle {\mathsf {\sigma _{m}}}={\mathsf {{\frac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})}}}$   und   ${\displaystyle {\mathsf {R}}={\mathsf {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2}}\right)^{2}+\sigma _{xy}^{2}}}}}$

Darin ist

• {σ_xx, σ_yy, σ_xy} ein gegebener Spannungszustand in der xy-Ebene, die zur Drehachse ê senkrecht ist, wie zum Beispiel im ebenen Spannungszustand mit Drehachse senkrecht zu seiner Ebene,
• {σ_uu, σ_vv, σ_uv} ist der Spannungszustand im uv-Koordinatensystem, dessen u- und v-Achsen wie in Abb. 2 um den Winkel α um ê gegenüber den x- bzw. y-Achsen verdreht sind, wobei der Drehsinn am Kreis dem in Abb. 2 entgegengesetzt ist,
• σ_m der Mittelpunkt des Kreises auf der Abszisse und
• R der Radius des Kreises.

Mohr führte den Spannungskreis 1882 ein, zu einer Zeit, als der Ingenieur noch mit dem Rechenschieber arbeitete und der Kreis somit ein nützliches Werkzeug darstellte.^:391

Koordinatentransformation

Eine Koordinaten­trans­formation wird unter anderem bei einer Drehung wie im Bild notwendig, und wenn der Spannungszustand in der zur Drehachse senkrechten Ebene interessiert, kann er anschaulich mit dem Mohr’schen Spannungskreis untersucht werden. Allgemein geschieht eine Drehung mathematisch mit einer Drehmatrix Q und die Koordinaten­trans­formation der Koordinatenmatrix σ des Spannungstensors gemäß

σ’=Q^⊤·σ·Q,

siehe #Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung und vergleiche Euklidische Transformation.

Spannungen in der Ebene

In der xy-Ebene bezüglich kartesischer Koordinaten der Abbildung 2 ergibt sich:

${\displaystyle {\mathsf {{\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma _{uu}}}&{\mathsf {\sigma _{uv}}}\\{\mathsf {\sigma _{uv}}}&{\mathsf {\sigma _{vv}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma _{xx}}}&{\mathsf {\sigma _{xy}}}\\{\mathsf {\sigma _{xy}}}&{\mathsf {\sigma _{yy}}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}}}$

Die Komponenten in der uv-Ebene auf der linken Seite können mit den Doppelwinkelfunktionen dargestellt werden:^:35f

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {\sigma _{uu}}}=&{\mathsf {\sigma _{xx}\cos ^{2}\alpha +2\sigma _{xy}\sin \alpha \,\cos \alpha +\sigma _{yy}\sin ^{2}\alpha }}\\=&{\mathsf {{\frac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})\cos 2\alpha +\sigma _{xy}\sin 2\alpha }}\\{\mathsf {\sigma _{vv}}}=&{\mathsf {\sigma _{xx}\sin ^{2}\alpha -2\sigma _{xy}\cos \alpha \sin \alpha +\sigma _{yy}\cos ^{2}\alpha }}\\=&{\mathsf {{\frac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})-{\frac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})\cos 2\alpha -\sigma _{xy}\sin 2\alpha }}\\{\mathsf {\sigma _{uv}}}=&{\mathsf {-\sigma _{xx}\sin \alpha \,\cos \alpha +(\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha )\sigma _{xy}+\sigma _{yy}\sin \alpha \,\cos \alpha }}\\=&{\mathsf {{\frac {1}{2}}(\sigma _{yy}-\sigma _{xx})\sin 2\alpha +\sigma _{xy}\cos 2\alpha }}\end{aligned}}}$

Hier zeigt sich mit σ_m=(σ_xx+σ_yy)/2:

${\displaystyle {\mathsf {(\sigma _{uu}-{\mathsf {\sigma _{m}}})^{2}=(\sigma _{vv}-{\mathsf {\sigma _{m}}})^{2}=\left({\frac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})\cos 2\alpha +\sigma _{xy}\sin 2\alpha \right)^{2}}}}$

und

${\displaystyle {\mathsf {(\sigma _{uu}-{\mathsf {\sigma _{m}}})^{2}+\sigma _{uv}^{2}=(\sigma _{vv}-{\mathsf {\sigma _{m}}})^{2}+\sigma _{uv}^{2}={\frac {1}{4}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})^{2}+\sigma _{xy}^{2}=:R^{2}}}}$

Letzteres ist die Gleichung des Mohr’schen Kreises in einem Koordinatensystem, in dem die Normalkomponenten σ_uu,vv auf der Abszisse und die Schubkomponenten σ_uv auf der Ordinate aufgetragen werden. Der Mittelpunkt des Kreises liegt auf der Abszisse bei σ_m und sein Radius ist R.

Die folgenden Punkte sind von besonderem Interesse:

• Bei σ_uu=σ_vv=σ_m ist die Schubkomponente σ_uv extremal und gleich der Hauptschubspannung in der Ebene, wenn die Drehung um eine Hauptspannungsrichtung erfolgt. Der Winkel β im Bild errechnet sich aus seinem Tangens gemäß ${\displaystyle {\mathsf {\tan 2\beta ={\tfrac {\sigma _{yy}-\sigma _{xx}}{2\sigma _{xy}}}}}}$
• Bei σ_uv=0 sind die Normalkomponenten extremal und gleich den Hauptspannungen σ_I,II in der Ebene, wenn die Drehung um eine Hauptspannungsrichtung erfolgt. Die Hauptspannungen treten im Winkel γ oder γ±90° auf mit ${\displaystyle {\mathsf {\tan 2\gamma ={\tfrac {2\sigma _{xy}}{\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}}=-{\tfrac {1}{\tan 2\beta }}}}}$.

Der Kehrwert des Tangens von 2β gehört zum Ergänzungswinkel 90° − 2β = 2γ, worin sich zeigt, dass die Hauptschubspannung im 45°-Winkel zu den Hauptspannungen vorkommen. Die Tabelle stellt die interessierenden Zustände nochmal zusammen.

Zielspannungszustand			Winkel in Abb. 3	Argumente für α=½atan2(x,y) in Abb. 2
σuu	σvv	σuv		x	y
σI	σII	0	γ	σxx − σyy	2σxy
σII	σI	0	90° − γ	σyy − σxx	−2σxy
σm	σm	τmax	β	2σxy	σyy − σxx
σm	σm	τmin	90° − β	−2σxy	σxx − σyy

Der Radius ist eine Invariante im ebenen Spannungszustand, denn

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {\sigma _{uu}+\sigma _{vv}}}=&{\mathsf {\sigma _{xx}+\sigma _{yy}}}\\{\mathsf {\sigma _{uu}\sigma _{vv}-\sigma _{uv}^{2}}}=&{\mathsf {\sigma _{xx}\sigma _{yy}-\sigma _{xy}^{2}}}\\{\mathsf {R^{2}}}=&{\mathsf {{\frac {1}{4}}[(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})^{2}-4(\sigma _{xx}\sigma _{yy}-\sigma _{xy}^{2})]}}\end{aligned}}}$

Die ersten beiden Größen entsprechen den Hauptinvarianten Spur und Determinante, weswegen auch der Radius R eine Invariante ist.^:44

Geometrische Zusammenhänge

Der Mohr’sche Spannungskreis kann konstruiert werden, wenn die Spannungen σ_xx, σ_yy und σ_xy in der Ebene bekannt sind. Auf der Abszisse werden die Normalspannungen σ_xx und σ_yy unter Beachtung ihrer Vorzeichen markiert. Über diesen Punkten wird die Schubspannung σ_xy bei σ_xx vorzeichenrichtig und bei σ_yy mit umgekehrtem Vorzeichen aufgetragen, was die Endpunkte eines Durchmessers des Kreises liefert. Zwischen diesen beiden Punkten liegt auf der Abszisse der Mittelpunkt des Kreises, der nun gezeichnet werden kann.^:51

Am Mohr’schen Spannungskreis können Winkel abgelesen werden, in denen interessierende Spannungen auftreten, siehe Abbildung 3. Dort sind in verschiedenen Schnittebenen (blau) die zugehörigen Traktionsvektoren (rot) und die Winkel, in denen sie auftreten (grün) eingezeichnet. Die Spannungen in einem uv-System, das wie in Abb. 2 um den Winkel α gedreht ist, finden sich auf dem Kreis auf dem Durchmesser, der gegenüber dem xy-Ausgangszustand mit dem doppelten Winkel in entgegengesetzter Richtung gedreht ist. Analytische Werte sind im Abschnitt #Spannungen in der Ebene gegeben.

Spannungen senkrecht zur Ebene

Oft wird ein Ebener Spannungszustand angenommen, was für die obige Darstellung jedoch nicht notwendig ist; nicht verschwindende Spannungskomponenten senkrecht zur Ebene beeinträchtigen die Gesetzmäßigkeiten nicht, solange die Ebene nur senkrecht zur Drehachse ist.

Die Normalspannung in Richtung der Drehachse ê (in z-Richtung) bleibt bei Drehungen der Ebene um ê per Definition des Spannungstensors unverändert: σ’_zz=σ_zz. Die Schubspannungen σ_xz, σ_yz transformieren sich gemäß

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {\sigma _{uz}}}=&{\mathsf {\sigma _{xz}\cos \alpha +\sigma _{yz}\sin \alpha }}\\{\mathsf {\sigma _{vz}}}=&{\mathsf {\sigma _{xz}\sin \alpha -\sigma _{yz}\cos \alpha }}\\\rightarrow {\mathsf {\sigma _{uz}^{2}+\sigma _{vz}^{2}}}=&{\mathsf {\sigma _{xz}^{2}+\sigma _{yz}^{2}=:r^{2}}}\end{aligned}}}$

Im Schubspannungsraum, in dem die Schubspannungen σ_xz,uz auf der Abszisse und σ_yz,vz auf der Ordinate aufgetragen sind, liegen die Schubspannungen senkrecht zur Ebene demnach auf einem Kreis mit Radius r.

Mohr’scher Spannungskreis und Schnittspannungsvektoren

Der Spannungs- oder Traktionsvektor t wird auf einem infinitesimalen Volumen durch einen Freischnitt sichtbar. Der Vektor wird zerlegt in seinen Anteil ${\displaystyle \sigma _{n}}$ (hier auch ${\displaystyle t_{\bar {x}}}$ bezeichnet) senkrecht zur Schnittfläche (den sogenannten Normalspannungsanteil) und seinen Anteil ${\displaystyle \tau _{n}}$ (hier auch ${\displaystyle t_{\bar {y}}}$ bezeichnet) parallel zur Schnittfläche (den so genannten Schubspannungsanteil). Abhängig vom Winkel ${\displaystyle \varphi }$, unter dem geschnitten wird, lassen sich Paare ${\displaystyle (t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})}$ berechnen und in ein Diagramm als Punkte einzeichnen. Die Menge aller Punkte ist der Mohr’sche Kreis. An ihm lassen sich z. B. die Hauptspannungen, die Hauptspannungsrichtungen oder die größte Schubspannung ablesen. Dadurch gewinnt man eine anschauliche Vorstellung von der Beanspruchung des Volumens. Bei Festigkeitskriterien, wie Versagenskriterien, Fließkriterien oder Elastizitätsgrenzen, von isotropen, homogenen Materialien sind ausschließlich die Hauptspannungen relevant. Bei einigen Festigkeitskriterien ist nur die Beanspruchung in der Ebene der größten und kleinsten Hauptspannung relevant. Zu ihrer Beurteilung wird auch im Computerzeitalter oft der Mohr’sche Spannungskreis verwendet, denn er liefert schnell eine anschauliche Lösung.

Der Mohr’sche Kreis kann auch zur Berechnung des Traktionsvektors auf eine beliebige Flächennormale verwendet werden und somit kann man die Komponenten des Spannungstensors rückbestimmen: Sind die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches ${\displaystyle (x,y)}$-Koordinatensystem gegeben, dann lassen sich mit dem Mohr’schen Kreis die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$-Koordinatensystem grafisch bestimmen. Vorausgesetzt ist hierbei, dass das ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$-Koordinatensystem durch eine Drehung um den Winkel ${\displaystyle \varphi }$ aus dem ${\displaystyle (x,y)}$-Koordinatensystem hervorgeht.

Schnittspannungsvektor

(x, y)-Komponenten

Der Spannungszustand an einem Teilchen ist festgelegt durch den symmetrischen Cauchy-Spannungstensor ${\displaystyle \sigma }$, der meist als (2,0)-Tensor definiert wird. An diesem Teilchen und durch seine unmittelbare Umgebung lässt sich ein Freischnitt führen in beliebiger Richtung. An der entstandenen Schnittfläche lässt sich der Schnittspannungsvektor t (traction vector) berechnen. Der Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und dem Schnittspannungsvektor t ist

${\displaystyle {\begin{aligned}t=\sigma \cdot n\end{aligned}},}$

wobei n ein Normalen-Einheitsvektor ist, der senkrecht auf der Schnittfläche steht und „nach außen“ zeigt. Die Komponenten des Spannungsvektors t bezogen auf das kartesische ${\displaystyle (x,y)}$-Koordinatensystem werden aus den Komponenten des Spannungstensors und denen des Normalen-Einheitsvektors mittels Matrixmultiplikation bzw. nach der Summenkonvention berechnet als:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{x}\\n_{y}\\\end{bmatrix}}\qquad \Leftrightarrow \qquad {\begin{cases}{\begin{matrix}t_{x}=\sigma _{xx}n_{x}+\tau _{xy}n_{y}\\t_{y}=\tau _{xy}n_{x}+\sigma _{yy}n_{y}\end{matrix}}\end{cases}}\\t^{i}&=\sigma ^{ij}n_{j}\end{aligned}}}$

Wenn an einem Schnittufer n der Normalen-Einheitsvektor ist, ist am gegenüber liegenden Schnittufer −n der Normalen-Einheitsvektor. Damit ist das Reaktionsprinzip mit der Definition des Spannungstensors von vornherein erfüllt.

Die Komponenten von t bezogen auf das ${\displaystyle (x,y)}$-Koordinatensystem lassen sich für jede beliebige Schnittrichtung berechnen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{\varphi }\\s_{\varphi }\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

mit den Abkürzungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{\varphi }&=\cos \varphi \\s_{\varphi }&=\sin \varphi \end{aligned}}}$

Besonders einfach ist die Berechnung für Schnitte parallel zu den Koordinatenflächen. Bei ${\displaystyle \varphi =0^{\circ }}$ ist wegen ${\displaystyle (c_{0^{\circ }},s_{0^{\circ }})=(1,0)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\cdot 1+\tau _{xy}\cdot 0\\\tau _{xy}\cdot 1+\sigma _{yy}\cdot 0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\tau _{xy}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Bei ${\displaystyle \varphi =90^{\circ }}$ ist wegen ${\displaystyle (c_{90^{\circ }},s_{90^{\circ }})=(0,1)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\tau _{xy}\\\sigma _{yy}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Schnittwinkel ${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle n_{x}}$	${\displaystyle n_{y}}$	${\displaystyle t_{x}}$	${\displaystyle t_{y}}$
${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \sigma _{xx}}$	${\displaystyle \tau _{xy}}$
${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \tau _{xy}}$	${\displaystyle \sigma _{yy}}$
${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -\sigma _{xx}}$	${\displaystyle -\tau _{xy}}$
${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -\tau _{xy}}$	${\displaystyle -\sigma _{yy}}$

Die Komponenten des Spannungstensors sind also auch die Komponenten der Spannungen auf den Schnittflächen. Und der Mohr’sche Kreis beschreibt, wie diese Spannungen von der Schnittrichtung abhängen.

(x̅, y̅)-Komponenten

Im Abschnitt (x, y)-Komponenten wurden die Komponenten von t bezogen auf das ${\displaystyle (x,y)}$-Koordinatensystem angegeben. Die Komponenten von t bezogen auf das ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$-Koordinatensystem sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{\bar {x}}\\t_{\bar {y}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}c_{\varphi }&s_{\varphi }\\-s_{\varphi }&c_{\varphi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\end{bmatrix}}\qquad \Leftrightarrow \qquad {\begin{cases}{\begin{matrix}t_{\bar {x}}=c_{\varphi }t_{x}+s_{\varphi }t_{y}\\t_{\bar {y}}=-s_{\varphi }t_{x}+c_{\varphi }t_{y}\end{matrix}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Durch Einsetzen und mit Hilfe der Umformungen

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{\bar {x}}(\varphi )&=t_{x}c_{\varphi }+t_{y}s_{\varphi }\\&=(\sigma _{xx}c_{\varphi }+\tau _{xy}s_{\varphi })c_{\varphi }+(\tau _{xy}c_{\varphi }+\sigma _{yy}s_{\varphi })s_{\varphi }\\&=\sigma _{xx}c_{\varphi }^{2}+2\tau _{xy}s_{\varphi }c_{\varphi }+\sigma _{yy}s_{\varphi }^{2}\\&=\sigma _{xx}{\tfrac {1+c_{2\varphi }}{2}}+\tau _{xy}s_{2\varphi }+\sigma _{yy}{\tfrac {1-c_{2\varphi }}{2}}\\&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})+{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})c_{2\varphi }+\tau _{xy}s_{2\varphi }\\t_{\bar {y}}(\varphi )&=-t_{x}s_{\varphi }+t_{y}c_{\varphi }\\&=-(\sigma _{xx}c_{\varphi }+\tau _{xy}s_{\varphi })s_{\varphi }+(\tau _{xy}c_{\varphi }+\sigma _{yy}s_{\varphi })c_{\varphi }\\&=-\sigma _{xx}s_{\varphi }c_{\varphi }+\tau _{xy}(-s_{\varphi }^{2}+c_{\varphi }^{2})+\sigma _{yy}s_{\varphi }c_{\varphi }\\&=-(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})s_{\varphi }c_{\varphi }+\tau _{xy}(-s_{\varphi }^{2}+c_{\varphi }^{2})\\&=-(\sigma _{xx}-\sigma _{yy}){\tfrac {1}{2}}s_{2\varphi }+\tau _{xy}c_{2\varphi }\\\end{aligned}}}$

erhält man:

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{\bar {x}}(\varphi )-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})c_{2\varphi }+\tau _{xy}s_{2\varphi }\\t_{\bar {y}}(\varphi )&=-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})s_{2\varphi }+\tau _{xy}c_{2\varphi }\end{aligned}}}$

Auf diesen beiden Gleichungen basiert die Konstruktion des Mohr’schen Kreises. Für das Beispiel:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

sind diese Formeln im Bild „Zählrichtung für Schnittwinkel“ für 12 verschiedene Winkel ausgewertet.

Das Bild „Zählrichtung für Schnittwinkel“ zeigt nicht den Mohr’schen Kreis, sondern veranschaulicht die Formeln für ${\displaystyle t_{\bar {x}}}$ und ${\displaystyle t_{\bar {y}}}$. Man sieht an jedem Schnitt den dort wirkenden Schnittspannungsvektor und seine ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$-Komponenten. Den Mohr’schen Kreis erhält man, indem man ${\displaystyle t_{\bar {y}}}$ über ${\displaystyle t_{\bar {x}}}$ aufträgt – indem man also ein Diagramm zeichnet, worin die Paare ${\displaystyle (t_{\bar {x}},t_{\bar {y}})}$ als Punkte dargestellt sind. Dies wird im folgenden Abschnitt getan.

Für Schnitte parallel zu den ${\displaystyle (x,y)}$-Koordinatenflächen ist:

Schnittwinkel ${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle n_{x}}$	${\displaystyle n_{y}}$	${\displaystyle t_{\bar {x}}}$	${\displaystyle t_{\bar {y}}}$
${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \sigma _{xx}}$	${\displaystyle \tau _{xy}}$
${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \sigma _{yy}}$	${\displaystyle -\tau _{xy}}$
${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \sigma _{xx}}$	${\displaystyle \tau _{xy}}$
${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \sigma _{yy}}$	${\displaystyle -\tau _{xy}}$

Kreisgleichung und Hauptspannungen

Kreisgleichung

Aus den Gleichungen für ${\displaystyle t_{\bar {x}}}$ und ${\displaystyle t_{\bar {y}}}$ wird die Kreisgleichung des Mohr’schen Kreises abgeleitet. Quadrieren beider Gleichungen liefert zunächst:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(t_{\bar {x}}-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\right)^{2}&=\left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})c_{2\varphi }+\tau _{xy}s_{2\varphi }\right)^{2}\\t_{\bar {y}}^{2}&=\left(-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})s_{2\varphi }+\tau _{xy}c_{2\varphi }\right)^{2}\end{aligned}}}$

Und durch Addieren dieser Gleichungen erhält man die Gleichung eines Kreises mit Radius R und Mittelpunkt bei (a,b), nämlich:

${\displaystyle {\begin{aligned}(t_{\bar {x}}-a)^{2}+(t_{\bar {y}}-b)^{2}&=R^{2}\\(t_{\bar {x}}-\underbrace {{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})} _{a})^{2}+(t_{\bar {y}}-\underbrace {0} _{b})^{2}&=\underbrace {\left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}} _{R^{2}}\end{aligned}}}$

Der Mittelpunkt des Mohr’schen Kreises liegt bei:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(t_{\bar {x}},t_{\bar {y}}\right)=\left(a,b\right)&=\left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}),0\right)\end{aligned}}}$

Für das Beispiel ergibt sich (vgl. Bild „Zählrichtung innen/außen“):

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a,b\right)&=\left({\tfrac {1}{2}}(-1+5),0\right)\\&=\left(2,0\right)\\\end{aligned}}}$

Und der Radius beträgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {\left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\end{aligned}}}$

Für das Beispiel ergibt sich (vgl. Bild „Zählrichtung innen/außen“):

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {\left({\tfrac {1}{2}}(-1-5)\right)^{2}+4^{2}}}\\&={\sqrt {9+16}}\\&=5\end{aligned}}}$

Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen

Die Hauptspannungen sind die Eigenwerte (der Komponentenmatrix) des Spannungstensors. Die charakteristische Gleichung zur Berechnung der Eigenwerte ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \left({\begin{bmatrix}\sigma _{xx}-\lambda &\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}-\lambda \\\end{bmatrix}}\right)&=0\end{aligned}}}$

Einfache Umformungen

Umformungen

${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma _{xx}-\lambda )(\sigma _{yy}-\lambda )-\tau _{xy}^{2}&=0\\\lambda ^{2}-\lambda (\sigma _{xx}+\sigma _{yy})+\sigma _{xx}\sigma _{yy}-\tau _{xy}^{2}&=0\\\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})^{2}-\sigma _{xx}\sigma _{yy}+\tau _{xy}^{2}}}\\\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(\sigma _{xx}^{2}+\sigma _{yy}^{2}+2\sigma _{xx}\sigma _{yy})-\sigma _{xx}\sigma _{yy}+\tau _{xy}^{2}}}\\\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(\sigma _{xx}^{2}+\sigma _{yy}^{2}-2\sigma _{xx}\sigma _{yy})+\tau _{xy}^{2}}}\\\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\\\end{aligned}}}$

führen auf:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm R\end{aligned}},}$

sodass man die Hauptspannungen als Schnittpunkte des Kreises mit der ${\displaystyle t_{\bar {x}}}$-Achse abliest. Für das konkrete Beispiel ergeben sich die Hauptspannungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1/2}&=2\pm 5\end{aligned}}}$

Es gibt verschiedene Methoden, um die Hauptspannungsrichtungen zu bestimmen.

Berechnung aus Kreisgleichung

Im Spezialfall ${\displaystyle t_{\bar {y}}=0}$ ist t parallel zum Normalen-Einheitsvektor n.

Aus der Kreisgleichung folgt dann:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})s_{2\varphi _{1/2}}+\tau _{xy}c_{2\varphi _{1/2}}\right)^{2}\\\tan(2\varphi _{1/2})&={\tfrac {2\tau _{xy}}{\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}}\end{aligned}}}$

Und für das Beispiel ergeben sich die positiven Schnittwinkel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(2\varphi _{1/2})&=-{\tfrac {4}{3}}\\2\varphi _{1/2}&\approx 127^{\circ }\pm k\pi \\\varphi _{1/2}&\approx 63^{\circ }\pm k{\tfrac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

Berechnung aus Eigenvektoren

Die Richtungen lassen sich alternativ mit den Eigenvektoren bestimmen. Der zu ${\displaystyle \lambda _{1}=7}$ gehörende Eigenvektor ${\displaystyle v_{1}}$ ist Lösung von:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}-\lambda _{1}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}-\lambda _{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1_{x}}\\v_{1_{y}}\end{bmatrix}}&=0\\{\begin{bmatrix}v_{1_{x}}\\v_{1_{y}}\end{bmatrix}}&=\alpha {\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Die Hauptspannungsrichtung für ${\displaystyle \lambda _{2}=-3}$ ergibt sich entsprechend zu:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}v_{2_{x}}\\v_{2_{y}}\end{bmatrix}}&=\alpha {\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Nun liegen die (x,y)-Komponenten beider Eigenvektoren fest. Der Winkel zwischen x-Achse und erstem Eigenvektor ist damit:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\varphi )&={\tfrac {2}{1}}\\\varphi _{1}&\approx 63^{\circ }\pm k\pi =(\dotsc ,63^{\circ },243^{\circ },\dotsc )\end{aligned}}}$

Die zweite Eigenrichtung ist um 90 Grad gegenüber der ersten gedreht, sodass:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{2}&\approx 153^{\circ }\pm k\pi =(\dotsc ,-27^{\circ },153^{\circ },\dotsc )\end{aligned}}}$

Die Einheitsvektoren der Eigenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, die den physikalischen Raum aufspannen, diese Eigenvektoren werden mit ${\displaystyle e_{I},e_{II},e_{III}}$ bezeichnet. Da der Spannungstensor mit den Einheitseigenvektoren multipliziert (${\displaystyle {\vec {T}}=\mathbf {\sigma } \cdot {\vec {n}}}$) jeweils eine der Hauptspannungen ergeben, werden sie in diesem Zusammenhang auch ${\displaystyle n_{I},n_{II},n_{III}}$ bezeichnet.

Mohr’sche Spannungskreise in 3D

Die dreidimensionale Realität kann man mit 3 Mohr’schen Spannungskreisen darstellen. Wie in 2D können die Richtungskosinus des Normalenvektors im Bild abgelesen werden, siehe den nächsten Abschnitt. Der Traktionsvektor wird aufgeteilt in eine Normalkomponente mit Betrag σ_n und eine Tangentialkomponente τ_n. In der Ebene, in der die Normalkomponente σ_n auf der Abszisse und die Tangentialkomponente τ_n auf der Ordinate aufgetragen werden, liegen die möglichen Zustände in der grünlichen Fläche im Bild. Jeder Traktionsvektor muss innerhalb des äußeren Kreises (oder auf dem äußeren Kreis) liegen. Spannungskombinationen aus Normalspannung und Schubspannung, die innerhalb der inneren Kreise liegen, können nicht auftreten, woraus auch folgt, dass es ausschließlich 3 Normalspannungen gibt, bei denen die Schubspannung null ist.

In einem Spannungszustand, bei dem zwei Hauptspannungen gleich sind, degeneriert ein Kreis zu einem Punkt und der andere innere Kreis ist identisch mit dem äußeren Kreis. Bei einem hydrostatischen Spannungszustand degenerieren alle drei Kreise zu einem Punkt, da hier keine Schubspannungen vorhanden sind und in jeder Richtung dieselbe Normalspannung wirkt.

Bestimmung des Normalenvektors bzw. des Traktionsvektors

Man zeichnet die drei Spannungskreise und jenen Spannungspunkt (den Punkt (σ_n,τ_n), mit Normal- und Schubkomponente des Traktionsvektors ${\displaystyle {\vec {t}}}$) ein, der gesucht ist. Dieser Punkt muss sich zwischen den drei Kreisen befinden, liegt er exakt auf einem Kreis kann der Normalenvektor wie bei dem 2D-Spannungskreis ermittelt werden. Ein Spannungspunkt außerhalb des äußeren oder innerhalb eines der kleineren Kreise kann nicht angenommen werden. Durch Einstechen im Mittelpunkt eines der beiden kleinen Spannungskreise und Abtragen des Abstandes zu (σ_n,τ_n) auf einem der anderen Kreise, kann man wie in 2D den doppelten Winkel zu einer Hauptspannungsrichtung bestimmen. Damit kann man den Normalenvektor ermitteln:

${\displaystyle n=\cos(\alpha _{\mathrm {I} })\cdot n_{I}+\cos(\alpha _{\mathrm {II} })\cdot n_{II}+\cos(\alpha _{\mathrm {III} })\cdot n_{III}=}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{\mathrm {I} }),\cos(\alpha _{\mathrm {II} }),\cos(\alpha _{\mathrm {III} })\end{pmatrix}}_{n_{I},n_{II},n_{III}}^{T}}$

Dabei reicht die Kenntnis zweier Winkel aus, um den dritten über n²=cos²(α_I)+cos²(α_II)+cos²(α_III) zu berechnen. Ebenso ist eine grafische Bestimmung des Traktionsvektors für einen bestimmten Normalenvektor möglich; hier muss man die zuvor erwähnten Schritte in umgekehrter Reihenfolge durchführen.

Durch die Hauptnormalspannungen σ_I und σ_III wird eine Seite eines gleichseitigen Dreiecks aufgespannt. Der Abstand zwischen dem Punkt des soeben aufgespannten Dreiecks, der nicht auf der Abszisse liegt, und σ_II entspricht der Von-Mises-Vergleichsspannung.

Analytische Beschreibung

Die Beschreibung erfolgt im System der Hauptspannungsrichtungen, kurz Hauptachsensystem ê_1,2,3 mit den zugehörigen Hauptspannungen σ_1,2,3. Diese werden nach Größe sortiert σ₁ > σ₂ > σ₃ und sollen hier der Einfachheit halber alle verschieden sein. Der Traktionsvektor mit Normalkomponente σ_n und Tangentialkomponente τ_n schreibt sich

${\displaystyle {\mathsf {{\vec {t}}=\sigma _{1}n_{1}{\hat {e}}_{1}+\sigma _{2}n_{2}{\hat {e}}_{2}+\sigma _{3}n_{3}{\hat {e}}_{3}=\sigma _{n}{\hat {n}}+\tau _{n}{\hat {b}}}}}$

mit ${\displaystyle {\mathsf {{\hat {n}}=n_{1}{\hat {e}}_{1}+n_{2}{\hat {e}}_{2}+n_{3}{\hat {e}}_{3}}}}$, ${\displaystyle {\mathsf {|{\hat {n}}|=|{\hat {b}}|=1}}}$ und ${\displaystyle {\mathsf {{\hat {n}}\cdot {\hat {b}}}}=0}$. Im Hauptachsensystem gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {{\vec {t}}\cdot {\hat {n}}}}=&{\mathsf {\sigma _{n}=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}}}\\{\mathsf {|{\vec {t}}|^{2}}}=&{\mathsf {\sigma _{n}^{2}+\tau _{n}^{2}=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}}}\\{\mathsf {{\hat {n}}\cdot {\hat {n}}}}=&{\mathsf {1=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}\end{aligned}}}$

Aus diesen drei Gleichungen können die Normalenkomponenten n_1,2,3 berechnet werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {n_{1}^{2}}}=&{\mathsf {\frac {(\sigma _{n}-\sigma _{m1})^{2}+\tau _{n}^{2}-R_{1}^{2}}{4R_{2}R_{3}}}}\geq 0\\{\mathsf {n_{2}^{2}}}=&{\mathsf {\frac {R_{2}^{2}-(\sigma _{n}-\sigma _{m2})^{2}-\tau _{n}^{2}}{4R_{1}R_{3}}}}\geq 0\\{\mathsf {n_{3}^{2}}}=&{\mathsf {\frac {(\sigma _{n}-\sigma _{m3})^{2}+\tau _{n}^{2}-R_{3}^{2}}{4R_{1}R_{2}}}}\geq 0\end{aligned}}}$

Darin sind

• ${\displaystyle {\mathsf {\sigma _{m1}={\frac {\sigma _{2}+\sigma _{3}}{2}},\;\sigma _{m2}={\frac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}},\;\sigma _{m3}={\frac {\sigma _{1}+\sigma _{2}}{2}}}}}$ die Mittelpunktskoordinaten auf der Abszisse und
• ${\displaystyle {\mathsf {R_{1}={\frac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}},\;R_{2}={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}},\;R_{3}={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}}}}$ die (positiven) Radien der Mohr’schen Spannungskreise.

Weil in den letzten drei Gleichungen die Nenner positiv sind, müssen es die Zähler auch sein, woran zu erkennen ist, dass die Punkte (σ_n,τ_n) außerhalb der kleinen Spannungskreise und innerhalb des umschließenden Kreises liegen.

Der Punkt (x₁,y₁), der auf dem linken Kreis um (σ_m1,0) liegt und denselben Abstand zum Mittelpunkt des rechten Kreises um (σ_m3,0) hat wie (σ_n,τ_n), liegt bei (x₁,y₁) mit

${\displaystyle {\mathsf {x_{1}=-{\frac {\sigma _{n}^{2}+\tau _{n}^{2}-2\sigma _{m3}\sigma _{n}+\sigma _{2}\sigma _{3}}{2R_{2}}},\;y_{1}={\sqrt {R_{1}^{2}-(x_{1}-\sigma _{m1})^{2}}}}}}$

und der entsprechende Punkt auf dem größten Kreis bei

${\displaystyle {\mathsf {x_{2}=-{\frac {\sigma _{n}^{2}+\tau _{n}^{2}-2\sigma _{m3}\sigma _{n}+\sigma _{1}\sigma _{3}}{2R_{1}}}}},\;{\mathsf {y_{2}={\sqrt {R_{2}^{2}-(x_{2}-\sigma _{m2})^{2}}}}}}$

Die 3-Komponente der Normale bestimmt sich damit aus

${\displaystyle {\mathsf {\cos 2\alpha _{3}={\frac {\sigma _{m1}-x_{1}}{R_{1}}}={\frac {\sigma _{m2}-x_{2}}{R_{2}}}=2n_{3}^{2}-1,\;n_{3}=\cos \alpha _{3}}}}$

Für die Punkte (x₃,y₃) und (x₄,y₄), die auf dem rechten bzw. größten Kreis liegen und denselben Abstand zum Mittelpunkt des linken Kreises um (σ_m1,0) haben wie (σ_n,τ_n), liegen bei

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {x_{3}}}=&{\mathsf {{\frac {\sigma _{n}^{2}+\tau _{n}^{2}-2\sigma _{m1}\sigma _{n}+\sigma _{1}\sigma _{2}}{2R_{2}}},\;y_{3}={\sqrt {R_{3}^{2}-(x_{3}-\sigma _{m3})^{2}}}}}\\{\mathsf {x_{4}}}=&{\mathsf {{\frac {\sigma _{n}^{2}+\tau _{n}^{2}-2\sigma _{m1}\sigma _{n}+\sigma _{1}\sigma _{3}}{2R_{3}}},\;y_{4}={\sqrt {R_{2}^{2}-(x_{4}-\sigma _{m2})^{2}}}}}\end{aligned}}}$

Die 1-Komponente der Normale bestimmt sich damit aus

${\displaystyle \cos \mathsf{2}{\alpha }_{\mathsf{1}}\mathsf{=}\frac{{\mathsf{x}}_{\mathsf{3}}\mathsf{-}{\sigma }_{\mathsf{m}\mathsf{3}}}{{\mathsf{R}}_{\mathsf{3}}}\mathsf{=}\frac{{\mathsf{x}}_{\mathsf{4}}\mathsf{-}{\sigma }_{\mathsf{m}\mathsf{2}}}{{\mathsf{R}}_{\mathsf{2}}}\mathsf{=}\mathsf{2}{\mathsf{n}}_{\mathsf{1}}^{\mathrm{}}}$