Reguläres Vieleck

Regelmäßige Polygone

Ein regelmäßiges Polygon, reguläres Polygon, regelmäßiges Vieleck, reguläres Vieleck oder Isogon (von griechisch ἴσος, gleich und γωνία, Winkel) ist in der Geometrie ein ebenes Polygon, das sowohl gleichseitig als auch gleichwinklig ist. Bei einem regelmäßigen Polygon sind demnach alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Die Ecken eines regelmäßigen Polygons liegen alle auf einem gemeinsamen virtuellen oder realen Kreis, wobei benachbarte Ecken unter dem gleichen Mittelpunktswinkel erscheinen.

Regelmäßige Polygone können einfach oder überschlagen sein. Einfache regelmäßige Polygone sind stets konvex. Überschlagene regelmäßige Polygone lassen sich in einem Zug zeichnen und werden als reguläre Sternpolygone bezeichnet. Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks ist die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$, bestehend aus genau ${\displaystyle n}$ Drehungen und ${\displaystyle n}$ Spiegelungen.

Alle Kenngrößen regelmäßiger Polygone, wie die Länge der Diagonalen, der Umfang oder der Flächeninhalt, können mit Hilfe trigonometrischer Funktionen angegeben werden. Nicht alle regelmäßigen Polygone sind jedoch mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Regelmäßige Polygone werden unter anderem bei der Näherung der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$, für Parkettierungen, in der Architektur und als Münzform verwendet.

Definition

Ein Polygon mit den ${\displaystyle n}$ Seiten ${\displaystyle a,b,c,\ldots }$ und den Innenwinkeln ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots }$ heißt regelmäßig, wenn

${\displaystyle a=b=c=\dotsb }$   und   ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =\dotsb }$

gilt. In einem regelmäßigen Polygon sind demnach alle Seiten zueinander kongruent und alle Winkel gleich groß.

Klassifikation

Man unterscheidet einfache und überschlagene regelmäßige Polygone. Alle einfachen regelmäßigen Polygone mit gleich viel Ecken sind zueinander ähnlich und werden in der kombinatorischen Geometrie mit dem Schläfli-Symbol ${\displaystyle \{n\}}$ bezeichnet. Um degenerierte Fälle auszuschließen, wird in der Regel ${\displaystyle n\geq 3}$ angenommen. Die ersten vier einfachen regelmäßigen Polygone sind:

• das gleichseitige Dreieck ${\displaystyle \{3\}}$,
• das Quadrat ${\displaystyle \{4\}}$,
• das regelmäßige Fünfeck ${\displaystyle \{5\}}$ und
• das regelmäßige Sechseck ${\displaystyle \{6\}}$.

Reguläre Sternpolygone weisen neben dem geschlossenen Polygonzug, auch eine größere Vielfalt an Formen auf. Sie werden mit dem Schläfli-Symbol ${\displaystyle \{n/m\}}$ bezeichnet, wobei ${\displaystyle 2\leq m<n/2}$ die Umlaufzahl des Polygons um seinen Mittelpunkt angibt. Die Umlaufzahl muss dabei teilerfremd zu ${\displaystyle n}$ sein, ansonsten entartet das Polygon. Die ersten drei regelmäßigen Sternpolygone sind:

• der Fünfstern ${\displaystyle \{5/2\}}$,
• die Siebensterne ${\displaystyle \{7/2\}}$ und ${\displaystyle \{7/3\}}$ sowie
• der Achtstern ${\displaystyle \{8/3\}}$.

Die Anzahl der verschiedenen Typen regelmäßiger Polygone mit ${\displaystyle n}$ Ecken ist demnach ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varphi (n)}$, wobei ${\displaystyle \varphi }$ die eulersche Phi-Funktion ist. Sind ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle m}$ nicht teilerfremd, werden mit dem Schläfli-Symbol ${\displaystyle \{n/m\}}$ Sterne bezeichnet, die aus mehreren regelmäßigen Polygonen zusammengesetzt sind. Beispiele sind das Hexagramm ${\displaystyle \{6/2\}}$ und das Oktagramm ${\displaystyle \{8/2\}}$.

Kenngrößen

Winkel

Die Ecken eines regelmäßigen Polygons liegen konzyklisch auf einem gemeinsamen Kreis. Ein regelmäßiges Polygon ist damit ein Sehnenvieleck und besitzt so einen Umkreis mit Umkreisradius ${\displaystyle r_{u}}$. Zudem liegen die Ecken gleichabständig auf dem Kreis, das heißt, nebeneinander liegende Ecken erscheinen unter dem gleichen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel)

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\cdot 360^{\circ }={\frac {2\pi }{n}}}$.

Damit ist ein regelmäßiges Polygon auch ein Tangentenvieleck mit einem Inkreis mit Inkreisradius ${\displaystyle r_{i}}$. Der Inkreis berührt die Polygonseiten dabei in den Seitenmittelpunkten. Der Inkreismittelpunkt stimmt mit dem Umkreismittelpunkt überein und wird der Mittelpunkt des Polygons genannt. Nachdem die Winkelsumme in einem einfachen ${\displaystyle n}$-Eck stets ${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}$ ergibt, messen in einem einfachen regelmäßigen Polygon alle Innenwinkel

${\displaystyle \alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }=\pi -{\frac {2\pi }{n}}}$.

Da sich an den Ecken eines Polygons Innen- und Außenwinkel zu ${\displaystyle 180^{\circ }}$ ergänzen, sind in einem einfachen regelmäßigen Polygon auch alle Außenwinkel gleich groß und messen jeweils

${\displaystyle \alpha '={\frac {1}{n}}\cdot 360^{\circ }={\frac {2\pi }{n}}}$.

Für die Winkel in regelmäßigen Polygonen ergeben sich beispielsweise folgende Werte:

Polygon	Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \mu }$		Innenwinkel ${\displaystyle \alpha }$		Außenwinkel ${\displaystyle \alpha '}$
	Gradmaß	Bogenmaß	Gradmaß	Bogenmaß	Gradmaß	Bogenmaß
n-Eck	${\displaystyle {\frac {1}{n}}\cdot 360^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$	${\displaystyle {\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi -{\frac {2\pi }{n}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{n}}\cdot 360^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$
Dreieck	${\displaystyle 120^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi }$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi }$	${\displaystyle 120^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi }$
Viereck	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$
Fünfeck	${\displaystyle 72^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}\pi }$	${\displaystyle 108^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}\pi }$	${\displaystyle 72^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}\pi }$
Sechseck	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi }$	${\displaystyle 120^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi }$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\pi }$
Achteck	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$	${\displaystyle 135^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\pi }$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$
Zehneck	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}\pi }$	${\displaystyle 144^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {4}{5}}\pi }$	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}\pi }$
Zwölfeck	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi }$	${\displaystyle 150^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {5}{6}}\pi }$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi }$

Längen

Die wichtigsten Kenngrößen einfacher regelmäßiger Polygone können mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks, das von dem Mittelpunkt und zwei benachbarten Ecken des Polygons gebildet wird, ermittelt werden. Das Bestimmungsdreieck ist gleichschenklig mit dem Spitzenwinkel ${\displaystyle \mu }$, den Basiswinkeln ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{2}}}$, den Schenkeln ${\displaystyle r_{u}}$, der Basis ${\displaystyle a}$ und der Höhe ${\displaystyle r_{i}}$. Wird das Bestimmungsdreieck entlang der Höhe (dem Apothema) in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt, ergeben sich mit dem oben angegebenen Mittelpunktswinkel und den trigonometrischen Funktionen (Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans) die folgenden Beziehungen zwischen der Seitenlänge ${\displaystyle a}$, dem Umkreisradius ${\displaystyle r_{u}}$ und dem Inkreisradius ${\displaystyle r_{i}}$:

${\displaystyle a=2\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)=2\,r_{i}\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}\cdot \csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)=r_{i}\cdot \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

${\displaystyle r_{i}={\frac {a}{2}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)=r_{u}\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Für manche Werte von ${\displaystyle n}$ lassen sich explizite Formeln für die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen (siehe Formelsammlung Trigonometrie) und damit für die Längen in einfachen regelmäßigen Polygonen angeben, zum Beispiel:

Polygon	Seitenlänge ${\displaystyle a}$ gegeben		Umkreisradius ${\displaystyle r_{u}}$ gegeben		Inkreisradius ${\displaystyle r_{i}}$ gegeben
	Umkreisradius	Inkreisradius	Seitenlänge	Inkreisradius	Seitenlänge	Umkreisradius
n-Eck	${\displaystyle {\frac {a}{2}}\cdot \csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {a}{2}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle 2\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle r_{u}\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle 2\,r_{i}\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle r_{i}\cdot \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
Dreieck	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2}$
Viereck	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2}$	${\displaystyle r_{i}\cdot {\sqrt {2}}}$
Fünfeck	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{10}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{5}}\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)}$
Sechseck	${\displaystyle a\cdot 1}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot 1}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot {\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot {\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}}$
Achteck	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2\left({\sqrt {2}}-1\right)}$	${\displaystyle r_{i}\cdot {\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}}$
Zehneck	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2{\sqrt {{\tfrac {1}{5}}\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot {\sqrt {{\tfrac {2}{5}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$
Zwölfeck	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2\left(2-{\sqrt {3}}\right)}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$

Umfang und Flächeninhalt

Der Umfang eines einfachen regelmäßigen Polygons ist das ${\displaystyle n}$-fache der Seitenlänge und damit

${\displaystyle U=n\,a=2\,n\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)=2\,n\,r_{i}\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$.

Der Flächeninhalt eines einfachen regelmäßigen Polygons ist entsprechend das ${\displaystyle n}$-Fache der Fläche des Bestimmungsdreiecks:

${\displaystyle A={\frac {n\,a\,r_{i}}{2}}={\frac {n\,a^{2}}{4}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {n\,r_{u}^{2}}{2}}\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)=n\,r_{i}^{2}\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$.

Die letzte Gleichung folgt dabei aus der Doppelwinkelformel. Damit ergeben sich beispielsweise die folgenden expliziten Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt einfacher regelmäßiger Polygone:

Polygon	Seitenlänge ${\displaystyle a}$ gegeben		Umkreisradius ${\displaystyle r_{u}}$ gegeben		Inkreisradius ${\displaystyle r_{i}}$ gegeben
	Umfang	Flächeninhalt	Umfang	Flächeninhalt	Umfang	Flächeninhalt
Monotonie	steigend	steigend	steigend	steigend	fallend	fallend
n-Eck	${\displaystyle U=n\,a}$	${\displaystyle A={\frac {n\,a^{2}}{4}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle U=2\,n\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle A={\frac {n\,r_{u}^{2}}{2}}\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle U=2\,n\,r_{i}\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	${\displaystyle A=n\,r_{i}^{2}\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$
Dreieck	${\displaystyle a\cdot 3}$	${\displaystyle a^{2}\cdot {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot 3{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{u}^{2}\cdot {\tfrac {3}{4}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 6{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{i}^{2}\cdot 3{\sqrt {3}}}$
Viereck	${\displaystyle a\cdot 4}$	${\displaystyle a^{2}\cdot 1}$	${\displaystyle r_{u}\cdot 4{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle r_{u}^{2}\cdot 2}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 8}$	${\displaystyle r_{i}^{2}\cdot 4}$
Fünfeck	${\displaystyle a\cdot 5}$	${\displaystyle a^{2}\cdot {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot 5{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{u}^{2}\cdot {\tfrac {5}{4}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 10{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle r_{i}^{2}\cdot 5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$
Sechseck	${\displaystyle a\cdot 6}$	${\displaystyle a^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot 6}$	${\displaystyle r_{u}^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 4{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle r_{i}^{2}\cdot 2{\sqrt {3}}}$
Achteck	${\displaystyle a\cdot 8}$	${\displaystyle a^{2}\cdot 2\left(1+{\sqrt {2}}\right)}$	${\displaystyle r_{u}\cdot 8{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle r_{u}^{2}\cdot 2{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 16\left({\sqrt {2}}-1\right)}$	${\displaystyle r_{i}^{2}\cdot 8\left({\sqrt {2}}-1\right)}$
Zehneck	${\displaystyle a\cdot 10}$	${\displaystyle a^{2}\cdot {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle r_{u}\cdot 5\left({\sqrt {5}}-1\right)}$	${\displaystyle r_{u}^{2}\cdot {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 4{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle r_{i}^{2}\cdot 2{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}}$
Zwölfeck	${\displaystyle a\cdot 12}$	${\displaystyle a^{2}\cdot 3\left(2+{\sqrt {3}}\right)}$	${\displaystyle r_{u}\cdot 12{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$	${\displaystyle r_{u}^{2}\cdot 3}$	${\displaystyle r_{i}\cdot 24\left(2-{\sqrt {3}}\right)}$	${\displaystyle r_{i}^{2}\cdot 12\left(2-{\sqrt {3}}\right)}$

Monotonie und Grenzwert von Flächeninhalt und Umfang

Es ist nicht immer offensichtlich, dass der Umfang und der Flächeninhalt des regelmäßigen Polygons streng monoton steigt oder streng monoton fällt, wenn ${\displaystyle n}$ größer wird. Da bei der Beschreibung von Flächeninhalt und Umfang die Sinus- und Tangensfunktion eine wichtige Rolle spielen, werden zunächst nützliche Eigenschaften dieser Funktionen bereitgestellt.

Eigenschaften der Tangens- und Sinusfunktionen

Aus der Reihendarstellung der Tangensfunktion folgt für ${\displaystyle 0<x<{\tfrac {\pi }{2}}}$:

1. die Ungleichung ${\displaystyle \tan x>x}$ und
2. ${\displaystyle {\tfrac {\tan x}{x}}}$ ist streng monoton steigend mit ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {\tan x}{x}}=1}$.

Ersetzt man ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$, so folgt aus der Kettenregel für ${\displaystyle f({\tfrac {1}{x}})}$ eine Umkehrung der Monotonie. Für ${\displaystyle x>{\tfrac {2}{\pi }}}$ gilt dann:

• ${\displaystyle x\tan {\tfrac {1}{x}}}$ ist streng monoton fallend und ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\tan {\tfrac {1}{x}}=1}$.

Für ${\displaystyle 0<x<{\tfrac {\pi }{2}}}$ gilt:

${\displaystyle \ {\tfrac {\sin x}{x}}}$ ist streng monoton fallend und ${\displaystyle \ \lim _{x\to 0}{\tfrac {\sin x}{x}}=1}$.

Die Monotonie ergibt sich mit Hilfe der Ableitung und ${\displaystyle \tan x>x}$, der Grenzwert mit der Regel von de L’Hospital. Ersetzt man ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$, ergibt sich für ${\displaystyle x>{\tfrac {2}{\pi }}}$:

• ${\displaystyle x\sin {\tfrac {1}{x}}}$ ist streng monoton steigend und ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin {\tfrac {1}{x}}=1}$.

Bei vorgegebenem Umkreisradius

Wenn der Umkreisradius ${\displaystyle r_{u}}$ gegeben ist, kann der Flächeninhalt mit der Funktion ${\displaystyle A(x)={\frac {x\,r_{u}^{2}}{2}}\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{x}}\right)}$ beschrieben werden (siehe oben).

Aus den Eigenschaften der Sinusfunktion (siehe oben) folgt, dass die Funktion ${\displaystyle A(x)={\frac {x\,r_{u}^{2}}{2}}\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{x}}\right)}$ für alle reellen Zahlen ${\displaystyle x>4}$ streng monoton steigt. Für den Grenzwert erhält man mit ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin {\tfrac {1}{x}}=1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }A(x)=\pi r_{u}^{2}\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi }{x}}=\pi r_{u}^{2}\ .}$

Dies ist der Flächeninhalt des Umkreises.

Analog ergibt sich die strenge Monotonie des Umfangs ${\displaystyle U(x)=2\,x\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{x}}\right)}$. Der Grenzwert des Umfangs ist

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }U(x)=2\pi r_{u}\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x}{\pi }}\sin \left({\frac {\pi }{x}}\right)=2\pi r_{u}\ .}$

Dies ist der Umfang des Umkreises.

Bei vorgegebenem Inkreisradius

In diesem Fall wird der Flächeninhalt durch die Funktion ${\displaystyle A(x)=x\,r_{i}^{2}\cdot \tan \left({\frac {\pi }{x}}\right)}$ beschrieben. Wie im vorigen Abschnitt zeigt man: Für alle reellen Zahlen ${\displaystyle x>2}$ ist ${\displaystyle A(x)}$ streng monoton steigend und es ist ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }A(x)=\pi r_{i}^{2}}$. Die strenge Monotonie des Umfangs lässt sich ebenso beweisen.

Diagonalen

Von jeder Ecke eines regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks gehen ${\displaystyle n-3}$ Diagonalen ${\displaystyle d_{1}}$ bis ${\displaystyle d_{n-3}}$ aus. Die Länge der Diagonalen kann wiederum mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks, das von dem Mittelpunkt des Polygons und den beiden Endpunkten der Diagonale gebildet wird, ermittelt werden. Das Bestimmungsdreieck der ${\displaystyle k}$-ten Diagonale, ${\displaystyle k=1,\dotsc ,n-3}$, ist wieder gleichschenklig und hat die Schenkel ${\displaystyle r_{u}}$, die Basis ${\displaystyle d_{k}}$ und den Spitzenwinkel ${\displaystyle (k+1)\mu }$. Damit ergibt sich für die Länge der ${\displaystyle k}$-ten Diagonale

${\displaystyle d_{k}=2\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {(k+1)\pi }{n}}\right)=a\cdot \sin \left({\frac {(k+1)\pi }{n}}\right)\cdot \csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$.

Für die Längen der Diagonalen in einem einfachen regelmäßigen Polygon gilt die Identität

${\displaystyle d_{k}=d_{n-k-2}}$.

Durch Drehung der Diagonalen um den Winkel ${\displaystyle {\frac {2\cdot \pi }{n}}}$ mit dem Mittelpunkt als Drehzentrum oder aus dem Kreiswinkelsatz, denn jedes regelmäßige Polygon hat einen Umkreis, folgt, dass die kleinen Dreiecke der Dreieckszerlegung mit den Seitenlängen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle d_{k}}$ und ${\displaystyle d_{k+1}}$ die Innenwinkel ${\displaystyle {\frac {\pi }{n}}}$, ${\displaystyle {\frac {k\cdot \pi }{n}}}$ und ${\displaystyle {\frac {(n-k+1)\cdot \pi }{n}}}$ hat. Daraus ergibt sich mithilfe des Sinussatz die genannte Formel für die Länge der ${\displaystyle k}$-ten Diagonale.

Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung des Kosinussatz und vollständige Induktion.

Wenn der Umkreis des regelmäßigen Polygons mit dem Durchmesser ${\displaystyle 2\,r_{u}={\frac {a}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}=a\cdot \csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$ betrachtet wird, kann alternativ der Satz des Thales oder auch der Sekanten-Tangenten-Satz verwendet werden.

Ist die Eckenzahl des Polygons gerade, sind daher ${\displaystyle {\tfrac {n-2}{2}}}$ Diagonalen unterschiedlich lang. Ist die Eckenzahl ungerade, gibt es ${\displaystyle {\tfrac {n-3}{2}}}$ verschieden lange Diagonalen.

Bei gegebener Seitenlänge ${\displaystyle a}$ ergeben sich beispielsweise die folgenden expliziten Formeln für die Längen der Diagonalen einfacher regelmäßiger Polygone:

Polygon	Diagonalen
	Diagonale ${\displaystyle d_{1}}$	Diagonale ${\displaystyle d_{2}}$	Diagonale ${\displaystyle d_{3}}$	Diagonale ${\displaystyle d_{4}}$	Diagonale ${\displaystyle d_{5}}$
Viereck	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {2}}}$
Fünfeck	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$
Sechseck	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle a\cdot 2}$
Achteck	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle a\cdot \left(1+{\sqrt {2}}\right)}$	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}}$
Zehneck	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}$	${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)}$	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle a\cdot \left(1+{\sqrt {5}}\right)}$
Zwölfeck	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}$	${\displaystyle a\cdot \left(1+{\sqrt {3}}\right)}$	${\displaystyle a\cdot {\sqrt {3\left(2+{\sqrt {3}}\right)}}}$	${\displaystyle a\cdot \left(2+{\sqrt {3}}\right)}$	${\displaystyle a\cdot 2{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}$

Eigenschaften

Symmetrien

Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks ist die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$. Die Diedergruppe weist die Ordnung ${\displaystyle 2n}$ auf und besteht aus

• ${\displaystyle n}$ Rotationen der zyklischen Gruppe ${\displaystyle C_{n}}$ und
• ${\displaystyle n}$ Spiegelungen an den Symmetrieachsen durch den Mittelpunkt des Polygons.

Ist ${\displaystyle n}$ gerade, dann verläuft die eine Hälfte der Symmetrieachsen durch zwei gegenüberliegende Ecken und die andere Hälfte durch zwei Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Ist ${\displaystyle n}$ ungerade, dann verlaufen alle Symmetrieachsen durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

Jedes regelmäßige Polygon mit gerader Eckenzahl ist auch punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.

Zerlegungen

Die Gesamtzahl aller Diagonalen in einem regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Eck ergibt sich zu ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}(n-3)}$ (Folge A000096 in OEIS), da von jeder der ${\displaystyle n}$ Ecken ${\displaystyle n-3}$ Diagonalen ausgehen und bei dieser Zählung alle Diagonalen doppelt gezählt werden. Bei einem einfachen regelmäßigen Polygon mit gerader Eckenzahl verlaufen alle Diagonalen durch den Mittelpunkt des Polygons. Bei ungerader Eckenzahl wird durch die Diagonalen im Inneren eine verkleinerte Kopie des Polygons gebildet. Die Anzahl der Schnittpunkte der Diagonalen im Inneren eines einfachen regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks ergibt die Folge

${\displaystyle 0,1,5,13,35,49,\ldots }$   (Folge A006561 in OEIS).

Diese Folge ganzer Zahlen ist nicht monoton steigend.

Jeweils 4 beliebige Eckpunkte des regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks bilden ein konvexes Viereck. Die zwei Diagonalen des Vierecks schneiden sich in einem Punkt. Umgekehrt gehört jeder Schnittpunkt zu mindestens zwei Diagonalen des regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks.

Für ungerades ${\displaystyle n}$ schneiden sich immer nur 2 Diagonalen in einem Punkt. Die Anzahl der Schnittpunkte ist daher gleich der Anzahl der Möglichkeiten, 4 der ${\displaystyle n}$ Eckpunkte auszuwählen, wenn die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird, also die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung:

${\displaystyle {\binom {n}{4}}={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}\,.}$

Für gerades ${\displaystyle n}$ größer gleich 6 schneiden sich auch mehr als 2 Diagonalen in einem Punkt. In diesem Fall ist die Anzahl der Schnittpunkte kleiner als ${\displaystyle {\tbinom {n}{4}}}$.

Die Anzahl der Teilpolygone, die durch eine vollständige Zerlegung eines einfachen regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks entlang der Diagonalen entsteht, ergibt die Folge

${\displaystyle 1,4,11,24,50,80,\ldots }$   (Folge A007678 in OEIS).

Für ungerades ${\displaystyle n}$ ist diese Anzahl gleich

${\displaystyle {\frac {n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24}{24}}}$

und kleiner für gerades ${\displaystyle n}$. Auch diese Folge ganzer Zahlen ist nicht monoton steigend.

Die Anzahl der Möglichkeiten, ein einfaches regelmäßiges ${\displaystyle n}$-Eck überschneidungsfrei entlang der Diagonalen in Teilpolygone zu zerteilen, wird durch die kleinen Schröder-Zahlen ${\displaystyle s_{n-2}}$ angegeben. Sollen diese Teilpolygone ausschließlich Dreiecke sein, wird die Anzahl der Möglichkeiten durch die Catalan-Zahlen ${\displaystyle C_{n-2}}$ angegeben. Allgemeiner werden auch Zerlegungen regelmäßiger Polygone untersucht, bei denen nicht nur die Diagonalen verwendet werden dürfen, zum Beispiel die Zerlegung in flächengleiche Dreiecke.

Zusammenhang mit Sternpolygonen

Es können auch nur gleich lange Diagonalen, aber nicht die Seiten in einem regelmäßigen ${\displaystyle p}$-Eck eingezeichnet werden.

Werden die Ecken mit Indexen durchnummeriert und nur die mit einer geraden Strecke verbunden, deren – fortlaufende – Indexe die Differenz ${\displaystyle q}$ haben, dann sind diese Strecken gleich lange Diagonalen und es entsteht ein regelmäßiges Sternpolygon. Umgangssprachlich kann man auch sagen, dass immer jeder ${\displaystyle q}$-te Punkt einer gleichmäßig mit ${\displaystyle p}$ Punkten unterteilten Kreislinie mit einer geraden Strecke verbunden wird. Die formale Bezeichnung für ein solches Sternpolygon ist ${\displaystyle \{p/q\}}$-Stern (siehe Schläfli-Symbol).

Wird immer jede zweite Ecke innerhalb eines regelmäßigen Fünfecks verbunden, dann entsteht ein regelmäßiger ${\displaystyle \{5/2\}}$-Stern, nämlich das Pentagramm. Wird immer jede zweite Ecke innerhalb eines regelmäßigen Sechsecks verbunden, dann entsteht ein regelmäßiger ${\displaystyle \{6/2\}}$-Stern, nämlich das Hexagramm, das auch als Davidstern bekannt ist.

Für ${\displaystyle p\leq 8}$ und ${\displaystyle q\geq 2}$ gibt es folgende regelmäßige Sternpolygone:

• {5/2}-Stern (Pentagramm)
• {6/2}-Stern (Hexagramm oder Davidstern)
• {7/2}-Stern
• {7/3}-Stern
• {8/2}-Stern (Achtort)
• {8/3}-Stern (Achterstern)

Abstände

Nach dem Satz von Viviani ist die Summe der senkrechten Abstände von einem beliebigen Punkt ${\displaystyle P}$ im Inneren eines einfachen regelmäßigen Polygons zu den Polygonseiten gleich der Summe der Abstände vom Mittelpunkt zu den Seiten und damit gleich ${\displaystyle n\cdot r_{i}}$. Betrachtet man nämlich die Dreiecke, die von dem Punkt ${\displaystyle P}$ und jeweils zwei benachbarten Eckpunkten gebildet werden, dann ist die Summe der Flächeninhalte dieser Dreiecke gleich dem gesamten Flächeninhalt des Polygons, also

${\displaystyle {\frac {a}{2}}\,d(P,a)+{\frac {a}{2}}\,d(P,b)+{\frac {a}{2}}\,d(P,c)+\dotsb ={\frac {n\,a\,r_{i}}{2}}}$.

Die Aussage ergibt sich dann durch Dividieren beider Seiten der Gleichung durch ${\displaystyle {\tfrac {a}{2}}}$. Weitere Identitäten in regelmäßigen Polygonen sind:

• Die Summe der Abstände von den Eckpunkten zu einer beliebigen Umkreistangente ist ${\displaystyle n\cdot r_{u}}$.
• Die Summe der Abstandsquadrate von den Eckpunkten zu einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis ist ${\displaystyle 2n\cdot r_{u}^{2}}$.
• Die Summe der Abstandsquadrate von den Seitenmitten zu einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis ist ${\displaystyle 2n\cdot r_{u}^{2}-{\tfrac {1}{4}}n\cdot a^{2}}$.

Das Produkt der Abstände von einem Eckpunkt zu allen anderen Eckpunkten ergibt sich in einem regelmäßigen Polygon zu

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}2r_{u}\cdot \sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)=n\cdot r_{u}^{n-1}}$.

Maximalität

Regelmäßige Polygone maximieren nach dem Satz von Zenodoros den Flächeninhalt im Vergleich zu anderen Polygonen in folgender Weise:

• Von allen ${\displaystyle n}$-Ecken mit gleichem Umfang hat das regelmäßige ${\displaystyle n}$