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Die relative Häufigkeit ist eine Gliederungszahl und ein Maß der deskriptiven Statistik Sie gibt den Anteil der Elemente
Relative Häufigkeit
Die relative Häufigkeit ist eine Gliederungszahl und ein Maß der deskriptiven Statistik. Sie gibt den Anteil der Elemente einer Menge wieder, bei denen eine bestimmte Merkmalsausprägung vorliegt. Sie wird berechnet, indem die absolute Häufigkeit eines Merkmals in einer zugrundeliegenden Menge durch die Anzahl der Objekte in dieser Menge geteilt wird. Die relative Häufigkeit ist also eine Bruchzahl und hat einen Wert zwischen 0 und 1.
Allgemeine mathematische Definition
Relative Häufigkeiten werden bezüglich einer zugrundeliegenden Menge berechnet. Diese Menge kann eine Grundgesamtheit oder eine Stichprobe sein. Um die relative Häufigkeit zu definieren, nehmen wir an, dass die zugrundeliegende Menge Elemente aufweist. Unter diesen Elementen tritt -mal das Ereignis auf. Die relative Häufigkeit wird berechnet als die Anzahl der Beobachtungen mit dem Merkmal dividiert durch die Gesamtzahl aller Elemente in der zugrundeliegenden Menge.
Die relative Häufigkeit ergibt sich daher als
- .
wird auch als absolute Häufigkeit bezeichnet. Im Gegensatz zur relativen Häufigkeit sind sinnvolle Vergleiche zwischen Stichproben (oder Grundgesamtheiten) unterschiedlicher Größe mit der absoluten Häufigkeit in der Regel nicht möglich.
Beispiele
Anteil der Mädchen in einer Schulklasse
In einer Klasse A sind 24 Schüler, davon 12 Mädchen. In Klasse B sind 18 Schüler, davon 9 Mädchen. Das heißt, in Klasse A sind mehr Mädchen (12) als in Klasse B (9), wenn man die absolute Häufigkeit betrachtet. Betrachtet man die Häufigkeit an Mädchen hingegen relativ zur jeweiligen Klassengröße, sieht man, dass in beiden Klassen der gleiche Anteil an Mädchen ist: In Klasse A ist die relative Häufigkeit an Mädchen 0,5 (= 12⁄24) und in Klasse B ebenfalls 0,5 (= 9⁄18). Die relative Häufigkeit lässt sich auch leicht in eine Prozentzahl umrechnen, indem man sie mit 100 % multipliziert. Somit bestehen beide Klassen zu 50 % (= 0,5 × 100 %) aus Mädchen.
Wahlumfragen
Bei einer Wahlumfrage werden 600 Wahlberechtigte in Bayern befragt sowie 200 Wahlberechtigte in Berlin. In Bayern geben 120 Befragte an, die Partei A zu wählen. In Berlin sagen 100 Befragte, dass sie die Partei A wählen würden. Die absolute Häufigkeit für Wähler der Partei A ist also in Bayern höher als in Berlin, nämlich 120 Befragte in Bayern gegenüber 100 Befragten in Berlin. Dies ist jedoch auf den Umstand zurückzuführen, dass in Bayern drei Mal so viele Personen befragt wurden wie in Berlin. Ein Vergleich der absoluten Häufigkeiten ist daher nicht sinnvoll.
Im Gegensatz dazu ermöglicht die relative Häufigkeit einen Vergleich bezüglich der Popularität der Partei A zwischen Bayern und Berlin. In Bayern beträgt die relative Häufigkeit 0,2 (= 120⁄600). Für Berlin berechnet man als relative Häufigkeit 0,5 (= 100⁄200). Partei A ist in Berlin also wesentlich beliebter als in Bayern.
Eigenschaften
Im Gegensatz zur absoluten Häufigkeit bewegt sich die relative Häufigkeit immer zwischen 0 und 1. Dadurch kann man verschiedene relative Häufigkeiten miteinander vergleichen, obwohl sie sich auf unterschiedliche Bezugsgrößen beziehen. In der deskriptiven Statistik werden relative Häufigkeiten daher verwendet, um Häufigkeitsverteilungen unabhängig von der Zahl der Elemente in der Grundgesamtheit (also unabhängig vom Stichprobenumfang) vergleichen zu können.
Im Rahmen der Inferenzstatistik und Stochastik wird die relative Häufigkeit als Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter Erfolgswahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung verwendet.
Für die relative Häufigkeit gelten folgende Rechenregeln:
- aufgrund der Normierung auf die Anzahl der Wiederholungen.
- für das sichere Ereignis.
- für die Summe von Ereignissen.
- für das komplementäre Ereignis.
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff interpretiert die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als die relative Häufigkeit, mit der es in einer großen Anzahl gleicher, wiederholter, voneinander unabhängiger Zufallsexperimente auftritt. Dies ist die sogenannte ‚Limes-Definition‘ nach Richard von Mises. Voraussetzung für diesen Wahrscheinlichkeitsbegriff ist die beliebige Wiederholbarkeit des Experiments; die einzelnen Durchgänge müssen voneinander unabhängig sein.
Beispiel: Man würfelt 100 Mal und erhält folgende Verteilung: die 1 fällt 10 Mal (das entspricht einer relativen Häufigkeit von 10 %), die 2 fällt 15 Mal (15 %), die 3 ebenfalls 15 Mal (15 %), die 4 in 20 %, die 5 in 30 % und die 6 in 10 % der Fälle. Nach 10.000 Durchgängen haben die relativen Häufigkeiten sich – falls ein fairer Würfel vorliegt – in der Nähe der Wahrscheinlichkeiten stabilisiert, sodass z. B. die relative Häufigkeit für das Würfeln einer 3 ungefähr bei 16,7 % liegt.
Die heute als Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendete axiomatische Wahrscheinlichkeitsdefinition kommt ohne den Rückgriff auf den Begriff der relativen Häufigkeit aus. Auch bei Verwendung dieser Wahrscheinlichkeitsdefinition existiert jedoch (mittels des Gesetzes der großen Zahlen) eine enge Beziehung zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit.
Gesetz der großen Zahlen
Als Gesetze der großen Zahlen werden bestimmte Konvergenzsätze für die fast sichere Konvergenz und die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit von Zufallsvariablen bezeichnet. In ihrer einfachsten Form besagen diese Sätze, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses in der Regel der Wahrscheinlichkeit dieses Zufallsergebnisses annähert, wenn das zu Grunde liegende Zufallsexperiment immer wieder durchgeführt wird. Die Gesetze der großen Zahlen können von Kolmogorovs axiomatischer Wahrscheinlichkeitsdefinition ausgehend bewiesen werden. Somit existiert ein enger Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit auch dann, wenn man kein Vertreter der objektivistischen Wahrscheinlichkeitsauffassung ist.
Literatur
- Bernhard Rüger: Induktive Statistik. Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. R. Oldenbourg Verlag, München Wien 1988, ISBN 3-486-20535-8.
Einzelnachweise
- Bernhard Rüger (1988), S. 8 ff.
- Bernhard Rüger (1988), S. 11 ff.
- Bernhard Rüger (1988), S. 79 ff.
Autor: www.NiNa.Az
Veröffentlichungsdatum:
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Die relative Haufigkeit ist eine Gliederungszahl und ein Mass der deskriptiven Statistik Sie gibt den Anteil der Elemente einer Menge wieder bei denen eine bestimmte Merkmalsauspragung vorliegt Sie wird berechnet indem die absolute Haufigkeit eines Merkmals in einer zugrundeliegenden Menge durch die Anzahl der Objekte in dieser Menge geteilt wird Die relative Haufigkeit ist also eine Bruchzahl und hat einen Wert zwischen 0 und 1 Berechnung der relativen Haufigkeit als MengendiagrammAllgemeine mathematische DefinitionRelative Haufigkeiten werden bezuglich einer zugrundeliegenden Menge berechnet Diese Menge kann eine Grundgesamtheit oder eine Stichprobe sein Um die relative Haufigkeit zu definieren nehmen wir an dass die zugrundeliegende Menge n displaystyle n Elemente aufweist Unter diesen n displaystyle n Elementen tritt Hn A displaystyle H n A mal das Ereignis A displaystyle A auf Die relative Haufigkeit wird berechnet als die Anzahl der Beobachtungen mit dem Merkmal A displaystyle A dividiert durch die Gesamtzahl aller Elemente in der zugrundeliegenden Menge Die relative Haufigkeit ergibt sich daher als hn A Hn A n displaystyle h n A frac H n A n Hn A displaystyle H n A wird auch als absolute Haufigkeit bezeichnet Im Gegensatz zur relativen Haufigkeit hn A displaystyle h n A sind sinnvolle Vergleiche zwischen Stichproben oder Grundgesamtheiten unterschiedlicher Grosse mit der absoluten Haufigkeit Hn A displaystyle H n A in der Regel nicht moglich BeispieleAnteil der Madchen in einer Schulklasse In einer Klasse A sind 24 Schuler davon 12 Madchen In Klasse B sind 18 Schuler davon 9 Madchen Das heisst in Klasse A sind mehr Madchen 12 als in Klasse B 9 wenn man die absolute Haufigkeit betrachtet Betrachtet man die Haufigkeit an Madchen hingegen relativ zur jeweiligen Klassengrosse sieht man dass in beiden Klassen der gleiche Anteil an Madchen ist In Klasse A ist die relative Haufigkeit an Madchen 0 5 12 24 und in Klasse B ebenfalls 0 5 9 18 Die relative Haufigkeit lasst sich auch leicht in eine Prozentzahl umrechnen indem man sie mit 100 multipliziert Somit bestehen beide Klassen zu 50 0 5 100 aus Madchen Wahlumfragen Bei einer Wahlumfrage werden 600 Wahlberechtigte in Bayern befragt sowie 200 Wahlberechtigte in Berlin In Bayern geben 120 Befragte an die Partei A zu wahlen In Berlin sagen 100 Befragte dass sie die Partei A wahlen wurden Die absolute Haufigkeit fur Wahler der Partei A ist also in Bayern hoher als in Berlin namlich 120 Befragte in Bayern gegenuber 100 Befragten in Berlin Dies ist jedoch auf den Umstand zuruckzufuhren dass in Bayern drei Mal so viele Personen befragt wurden wie in Berlin Ein Vergleich der absoluten Haufigkeiten ist daher nicht sinnvoll Im Gegensatz dazu ermoglicht die relative Haufigkeit einen Vergleich bezuglich der Popularitat der Partei A zwischen Bayern und Berlin In Bayern betragt die relative Haufigkeit 0 2 120 600 Fur Berlin berechnet man als relative Haufigkeit 0 5 100 200 Partei A ist in Berlin also wesentlich beliebter als in Bayern EigenschaftenIm Gegensatz zur absoluten Haufigkeit bewegt sich die relative Haufigkeit immer zwischen 0 und 1 Dadurch kann man verschiedene relative Haufigkeiten miteinander vergleichen obwohl sie sich auf unterschiedliche Bezugsgrossen beziehen In der deskriptiven Statistik werden relative Haufigkeiten daher verwendet um Haufigkeitsverteilungen unabhangig von der Zahl der Elemente in der Grundgesamtheit also unabhangig vom Stichprobenumfang vergleichen zu konnen Im Rahmen der Inferenzstatistik und Stochastik wird die relative Haufigkeit als Maximum Likelihood Schatzer fur den Parameter Erfolgswahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung verwendet Fur die relative Haufigkeit gelten folgende Rechenregeln 0 hn A 1 displaystyle 0 leq h n A leq 1 aufgrund der Normierung auf die Anzahl n displaystyle n der Wiederholungen hn W 1 displaystyle h n Omega 1 fur das sichere Ereignis hn A B hn A hn B hn A B displaystyle h n A cup B h n A h n B h n A cap B fur die Summe von Ereignissen hn A 1 hn A displaystyle h n bar A 1 h n A fur das komplementare Ereignis Relative Haufigkeit und WahrscheinlichkeitFrequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff Hauptartikel Wahrscheinlichkeitsauffassung Der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff interpretiert die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als die relative Haufigkeit mit der es in einer grossen Anzahl gleicher wiederholter voneinander unabhangiger Zufallsexperimente auftritt Dies ist die sogenannte Limes Definition nach Richard von Mises Voraussetzung fur diesen Wahrscheinlichkeitsbegriff ist die beliebige Wiederholbarkeit des Experiments die einzelnen Durchgange mussen voneinander unabhangig sein Beispiel Man wurfelt 100 Mal und erhalt folgende Verteilung die 1 fallt 10 Mal das entspricht einer relativen Haufigkeit von 10 die 2 fallt 15 Mal 15 die 3 ebenfalls 15 Mal 15 die 4 in 20 die 5 in 30 und die 6 in 10 der Falle Nach 10 000 Durchgangen haben die relativen Haufigkeiten sich falls ein fairer Wurfel vorliegt in der Nahe der Wahrscheinlichkeiten stabilisiert sodass z B die relative Haufigkeit fur das Wurfeln einer 3 ungefahr bei 16 7 liegt Die heute als Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendete axiomatische Wahrscheinlichkeitsdefinition kommt ohne den Ruckgriff auf den Begriff der relativen Haufigkeit aus Auch bei Verwendung dieser Wahrscheinlichkeitsdefinition existiert jedoch mittels des Gesetzes der grossen Zahlen eine enge Beziehung zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Haufigkeit Gesetz der grossen Zahlen Als Gesetze der grossen Zahlen werden bestimmte Konvergenzsatze fur die fast sichere Konvergenz und die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit von Zufallsvariablen bezeichnet In ihrer einfachsten Form besagen diese Satze dass sich die relative Haufigkeit eines Zufallsergebnisses in der Regel der Wahrscheinlichkeit dieses Zufallsergebnisses annahert wenn das zu Grunde liegende Zufallsexperiment immer wieder durchgefuhrt wird Die Gesetze der grossen Zahlen konnen von Kolmogorovs axiomatischer Wahrscheinlichkeitsdefinition ausgehend bewiesen werden Somit existiert ein enger Zusammenhang zwischen relativer Haufigkeit und Wahrscheinlichkeit auch dann wenn man kein Vertreter der objektivistischen Wahrscheinlichkeitsauffassung ist LiteraturBernhard Ruger Induktive Statistik Einfuhrung fur Wirtschafts und Sozialwissenschaftler R Oldenbourg Verlag Munchen Wien 1988 ISBN 3 486 20535 8 EinzelnachweiseBernhard Ruger 1988 S 8 ff Bernhard Ruger 1988 S 11 ff Bernhard Ruger 1988 S 79 ff