Komplexes Maß

Ein komplexes Maß ist eine Art Verallgemeinerung des Maßes aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es ist wie das Maß eine Funktion, die von einem Mengensystem, meist einer σ-Algebra, abbildet. Das komplexe Maß lässt jedoch als Wertemenge die komplexen Zahlen zu, d. h.

${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\to \mathbb {C} }$

für ein Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Definition

Sei ${\displaystyle \Omega }$ eine nichtleere Menge und ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq 2^{\Omega }}$ eine Teilmenge der Potenzmenge von ${\displaystyle \Omega }$ mit ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {C}}}$.

Eine Mengenfunktion ${\displaystyle \nu }$ von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ in die komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ heißt komplexes Maß, wenn

${\displaystyle \nu (\emptyset )=0}$

und für jede disjunkte Familie ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \nu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\nu (A_{i})}$

gilt, wobei die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\nu (A_{i})}$ absolut konvergieren muss, das heißt ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }|\nu (A_{i})|<\infty }$. Letztere Eigenschaft wird auch als ${\displaystyle \sigma }$-Additivität bezeichnet.

In den meisten Anwendungen ist das Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine σ-Algebra, dann ist ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}}$ immer in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ enthalten.

Eigenschaften

Jedes endliche (Prä)Maß ist ein komplexes Maß, wenn man den reellen Bildbereich des Maßes in die komplexen Zahlen einbettet.

Für ein komplexes Maß sind offensichtlich Real- und Imaginärteil signierte Maße. Da jedes signierte Maß als Differenz zweier positiver Maße geschrieben werden kann (Hahn-Jordan-Zerlegung), kann jedes komplexe Maß als Linearkombination von vier positiven Maßen geschrieben werden.

Siehe auch

• Signiertes Maß

Literatur

• Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1999, ISBN 3-486-24789-1, Kap. 6.