Gaußsche Summe

Die Gaußsche Summe, Gaußsumme oder Gauß-Summe (nicht zu verwechseln mit der gaußschen Summenformel) ist ein bestimmter Typ einer endlichen Summe von Einheitswurzeln, typischerweise

${\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum _{r}\chi (r)\cdot \psi (r)}$

Dabei geht die Summe über die Elemente ${\displaystyle r}$ eines endlichen kommutativen Rings ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle \psi }$ ist ein Gruppenhomomorphismus der abelschen Gruppe ${\displaystyle R^{+}}$ in den Einheitskreis und ${\displaystyle \chi }$ ist ein Gruppenhomomorphismus der Einheitengruppe ${\displaystyle R^{\times }}$ in den Einheitskreis, fortgesetzt (durch den Wert 0) auf Nichteinheiten. Solche Summen sind in der Zahlentheorie allgegenwärtig. Sie finden z. B. Verwendung bei den funktionalen Gleichungen der Dirichletschen L-Funktion, wo für einen Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi }$ die Gleichung in der Beziehung zwischen ${\displaystyle L(s,\chi )}$ und ${\displaystyle L(1-s,\chi ^{*})}$ den Faktor

${\displaystyle {\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}}$

verwendet, wobei ${\displaystyle \chi ^{*}}$ die komplex Konjugierte von ${\displaystyle \chi }$ ist.

Ursprünglich betrachtete Carl Friedrich Gauß die mit ${\displaystyle R}$ als einem Restklassenkörper modulo einer ungeraden Primzahl ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle \chi }$ als Legendre-Symbol, dem quadratischen Restklassencharakter modulo ${\displaystyle p}$. Gauß bewies, dass ${\displaystyle G(\chi )={\sqrt {p}}}$ oder ${\displaystyle G(\chi )=i{\sqrt {p}}}$ gilt, je nachdem, ob ${\displaystyle p}$ kongruent zu 1 oder 3 modulo 4 ist.

Eine alternative Form dieser Gaußschen Summe ist:

${\displaystyle \sum _{r=0}^{p-1}e^{{\frac {2\pi i}{p}}r^{2}}}$

Quadratische Gaußsche Summen sind mit der Theorie der Thetafunktionen eng verbunden.

Die allgemeine Theorie der Gaußschen Summen wurde im frühen 19. Jahrhundert, unter Verwendung der und deren Primzahlenzerlegung in Kreisteilungskörpern, entwickelt. Summen über den Mengen, wo ${\displaystyle \chi }$ einen bestimmten Wert annimmt, wenn der zugrundeliegende Ring der Restklassenring modulo einer ganzen Zahl ${\displaystyle N}$ ist, werden durch die Theorie der beschrieben.

Der Absolutbetrag einer Gaußschen Summe wird üblicherweise als Anwendung des Satzes von Plancherel auf endlichen Gruppen benutzt. Im Fall, dass ${\displaystyle R}$ ein Körper von ${\displaystyle p}$ Elementen und ${\displaystyle \chi }$ nichttrivial ist, ist dieser Betrag gleich ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$. Die Bestimmung des eigentlichen Wertes von allgemeinen Gaußschen Summen aus dem Ergebnis von Gauß für den quadratischen Fall ist ein lange ungelöstes Problem. Für einige Fälle siehe .

Siehe auch

• Satz von Stickelberger

Referenzen

• Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory (= Graduate texts in mathematics. Bd. 84). 2nd edition. Springer-Verlag, New York u. a. 1990, ISBN 0-387-97329-X.
• Bruce C. Berndt, Ronald J. Evans, Kenneth S. Williams: Gauss and Jacobi Sums (= Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. Bd. 21 = A Wiley-interscience publication). Wiley, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-471-12807-4.