Abgeschlossene Hülle

In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge ${\displaystyle U}$ eines topologischen oder metrischen Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von ${\displaystyle U}$.

Definition

Ist ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss ${\displaystyle {\overline {U}}}$ einer Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$ der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von ${\displaystyle X}$, die ${\displaystyle U}$ beinhalten. Die Menge ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von ${\displaystyle U}$.

Ein Punkt ${\displaystyle b\in X}$ heißt Berührpunkt oder Adhärenzpunkt von ${\displaystyle U}$, wenn in jeder Umgebung von ${\displaystyle b}$ mindestens ein Element von ${\displaystyle U}$ enthalten ist. ${\displaystyle {\overline {U}}}$ besteht genau aus den Berührpunkten von ${\displaystyle U}$.

Der Abschluss als Menge von Grenzwerten

Erfüllt ${\displaystyle X}$ das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn ${\displaystyle X}$ ein metrischer Raum ist), so ist ${\displaystyle {\overline {U}}}$ die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in ${\displaystyle U}$ liegen.

Ist ${\displaystyle X}$ ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$ die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in ${\displaystyle U}$ liegen.

Abschluss von Kugeln in metrischen Räumen

Es sei ${\displaystyle X}$ ein metrischer Raum mit Metrik ${\displaystyle d}$. Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle ${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$ einer offenen Kugel

${\displaystyle B(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)<r\}}$

mit Radius ${\displaystyle r}$ und Mittelpunkt ${\displaystyle x\in X}$ nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel

${\displaystyle {\overline {B}}(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)\leq r\}.}$

Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:

${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}\subseteq {\overline {B}}(x,r)}$

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei ${\displaystyle X}$ eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der die diskrete Metrik durch

${\displaystyle d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\not =y\\0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=y\end{matrix}}\right.}$

definiert ist. Dann gilt für jedes ${\displaystyle x\in X}$:

${\displaystyle \{x\}=B(x,1)={\overline {B(x,1)}}\subsetneq {\overline {B}}(x,1)=X.}$

Darüber hinaus gibt es auch metrische Räume, in denen für einen Punkt ${\displaystyle x}$ und einen Radius ${\displaystyle r}$ beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:

${\displaystyle B(x,r)\subsetneq {\overline {B(x,r)}}\subsetneq {\overline {B}}(x,r).}$

Ein Beispiel ist die Menge

${\displaystyle X=\{(a,0)|a\in \mathbb {R} ,-1\leq a\leq 1\}\cup \{(0,1)\}}$

mit der vom euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ induzierten Metrik. Hier erfüllt ${\displaystyle x=(0,0),r=1}$ die angegebene Inklusionsbedingung:

${\displaystyle B(0,1)=\{(a,0)\mid a\in \mathbb {R} ,-1<a<1\}\subsetneq }$

${\displaystyle {\overline {B(0,1)}}=\{(a,0)\mid a\in \mathbb {R} ,-1\leq a\leq 1\}\subsetneq }$

${\displaystyle {\overline {B}}(0,1)=\{(a,0)\mid a\in \mathbb {R} ,-1\leq a\leq 1\}\cup \{(0,1)\}=X}$

Literatur

• Gabriele Castellini: Categorical Closure Operators. Birkhäuser, Boston MA u. a. 2003, ISBN 0-8176-4250-1.