Weierstraßscher Doppelreihensatz

Der weierstraßsche Doppelreihensatz ist ein Resultat aus der Funktionentheorie des Mathematikers Karl Weierstraß. Er beschäftigt sich mit der Frage, wann die Summe unendlich vieler Potenzreihen konvergiert und wenn, welchen Wert sie annimmt.

Formulierung

Es sei

${\displaystyle f_{k}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{kn}(z-z_{0})^{n},\ \ k\in \mathbb {N} _{0},\ \ a_{n},z_{0}\in \mathbb {C} }$

eine Folge von Potenzreihen, die in der Kreisscheibe ${\displaystyle B_{r}(z_{0})}$ konvergent für ${\displaystyle r>0}$ ist. Ist außerdem die Reihe

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(z)}$

kompakt konvergent. Dann ist die Grenzfunktion

${\displaystyle f(z):=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(z)}$

analytisch in ${\displaystyle B_{r}(z_{0})}$ und es gilt

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(z-z_{0})^{k}}$

mit ${\displaystyle \textstyle A_{k}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{kn}}$.

Weblinks

• Weierstrass‘s Double Series Theorem (Wolfram MathWorld)
• Weierstrass double series theorem (Planetmath)

Einzelnachweise

1. Reinhold Remmert: Funktionentheorie 1. 2., überarb. u. erg. Auflage. Berlin 1989, ISBN 978-3-540-51238-7, S. 195 f. 
2. Karl Weierstrass: Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen: Vorlesung Berlin 1878. Deutsche Mathematiker-Vereinigung, Braunschweig 1988, ISBN 3-528-06334-3, S. 66. 
3. Lexikon der Mathematik: Weierstraßscher Doppelreihensatz. In: Spektrum.de. 2017, abgerufen am 24. März 2022.