Volumenänderungsarbeit

Dieser Artikel behandelt geschlossene Systeme, also insbesondere eine konstante Stoffmenge (vorbehaltlich chemischer Reaktionen); für strömende Systeme siehe Hydraulik.

Die Volumenarbeit oder Volumenänderungsarbeit ist die an einem geschlossenen System zu leistende Arbeit ${\displaystyle W}$, um das Volumen des Systems vom Wert ${\displaystyle V_{1}}$ auf eines mit dem Wert ${\displaystyle V_{2}}$ zu verändern:

• bei der Volumenverkleinerung ${\displaystyle (V_{2}<V_{1})}$ durch Kompression wird Kompressionsarbeit geleistet, d. h., dem System zugeführt (in der Abbildung ist dies die Arbeit, die der Kolben an dem im Zylinder enthaltenen Gas verrichtet): ${\displaystyle W>0}$
• bei der Volumenvergrößerung ${\displaystyle (V_{2}>V_{1})}$ durch Expansion wird Arbeit – d. h. Energie – frei, d. h., vom System abgegeben: ${\displaystyle W<0.}$

Die Volumenarbeit errechnet sich zu

${\displaystyle W_{1,2}=-\int \limits _{s}F(s)\cdot \mathrm {d} s}$.

Hierbei ist ${\displaystyle F(s)}$ die Kraft, die längs eines Weges ${\displaystyle s}$ wirkt; dieser wird in Expansionsrichtung positiv gezählt (in der Abbildung entgegen der gezeigten Kompressionskraft ${\displaystyle F_{p}}$).

Das Minuszeichen in der Formel ist eine Konvention; so wird erreicht, dass dem System zugeführte Arbeit wie oben beschrieben positiv ist, freiwerdende Energie dagegen ein negatives Vorzeichen erhält. Bei der dargestellten Kompression hat der zurückgelegte Weg ein negatives Vorzeichen ${\displaystyle \left(\mathrm {d} s<0\right),}$ welches durch das zusätzliche Minuszeichen in der Formel für die Volumenarbeit kompensiert wird.

Reibungsloser Vorgang

Die reibungsfrei und quasistatisch zugeführte Arbeit ist in dem dargestellten Zylinder mit dem Querschnitt ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(\Rightarrow \mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} V}{A}}\right)}$

wegen ${\displaystyle F=p\cdot A}$ (Reibungsfreiheit):

${\displaystyle \Rightarrow W_{\mathrm {1,2} }=\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}\delta W=-\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}p\cdot \mathrm {d} V}$

mit

• ${\displaystyle \delta W=-pdV}$ das inexakte Differential der Volumenarbeit
• ${\displaystyle p}$: Druck
• ${\displaystyle \mathrm {d} V}$: Volumenänderung.

Diese Zustandsänderung verläuft im p-V-Diagramm vom Punkt 1 zum Punkt 2, bei der dargestellten Kompression also in negativer Volumenrichtung ${\displaystyle \left(\mathrm {d} V<0\right);}$ daher hätte die Kompressionsarbeit ohne das Minuszeichen in der Formel ein negatives Vorzeichen.

Der Integralwert, der der Fläche unter dem Zustandsverlauf entspricht, lässt sich berechnen, wenn die Funktion p = f(V) bekannt ist (s. u.).

Reibungsbehafteter Vorgang

Im realen Fall, wenn zwischen dem Kolben und dem Zylinder eine Reibungskraft wirkt, muss beim Komprimieren zusätzlich zur Volumenänderungsarbeit die Reibungsarbeit ${\displaystyle W_{R}}$ aufgebracht werden. Diese erhöht die innere Energie des Systems und damit den Druck gegenüber dem reibungsfreien Vorgang (wenn sie nicht durch Kühlung als Wärme nach außen abgeführt wird):

${\displaystyle {p_{2}}'>p_{2}}$

Im p-V-Diagramm verläuft die Zustandsänderung nun vom Punkt 1 zum Punkt 2’. Das heißt, dass auch die Volumenänderungsarbeit, die der Fläche unter dem Verlauf entspricht, größer wird, ohne dass darin die Reibungsarbeit selbst enthalten ist:

${\displaystyle \Rightarrow W_{1,2'}>W_{1,2}}$

Die von außen aufzubringende Arbeit ist also die Summe aus der nunmehr größeren Volumenänderungsarbeit und der Reibungsarbeit:

${\displaystyle W_{\mathrm {ext} }=W_{1,2'}+W_{R}}$

Berechnungsbeispiel

Angenommen sei die isotherme Expansion eines idealen Gases ${\displaystyle \left(T={\text{konst.}}\right).}$

Dann lässt sich durch Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase:

${\displaystyle p(V)=n\cdot R\cdot T\cdot {\frac {1}{V}}}$

mit

• n die Stoffmenge
• R die allgemeine Gaskonstante
• T die absolute Temperatur

das Integral für die Volumenarbeit lösen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow W_{\mathrm {1,2} }&=-&n\cdot R\cdot T\cdot \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\\&=&n\cdot R\cdot T\cdot \ln {\frac {V_{1}}{V_{2}}}\end{aligned}}}$

Anhand dieser Gleichung sieht man, dass bei der Expansion eines idealen Gases die Volumenarbeit negativ ist, also Energie frei wird; dies folgt aus dem Logarithmus, der für Zahlen kleiner eins negativ und für Zahlen größer eins positiv ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2}>V_{1}\\\Leftrightarrow {\frac {V_{2}}{V_{1}}}>1\\\Leftrightarrow \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}>0\\\Rightarrow W_{\mathrm {1,2} }<0\end{aligned}}}$

Statt n·R kann man oben auch m·R_s einsetzen:

${\displaystyle n\cdot R=m\cdot R_{\mathrm {s} }}$

wobei

• m die Masse des Stoffes und
• R_s seine spezifische Gaskonstante ist.

Offenes System

Wird die Kompression in einem offenen System mit dem Außendruck ${\displaystyle p_{0}}$ durchgeführt, so muss an tatsächlicher Arbeit

${\displaystyle W_{1,2}=p_{0}\cdot (V_{2}-V_{1})}$

aufgebracht werden, da der Außendruck mit der Fläche multipliziert ebenfalls eine Kraft ergibt. Ist der Außendruck höher als der Innendruck des zu komprimierenden Volumens, so wird dabei Energie gewonnen; ist er geringer, so muss dabei Arbeit geleistet werden.

Siehe auch

• Thermodynamik
• Dissipation
• Technische Arbeit
• Verschiebearbeit

Literatur

• Literatur zur Technischen Thermodynamik