Überauflösbare Gruppe

Überauflösbare Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Es handelt sich um eine Verschärfung der Auflösbarkeit einer Gruppe.

Definition

Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ heißt überauflösbar, falls es Normalteiler ${\displaystyle G_{i}\vartriangleleft G}$ gibt mit

${\displaystyle \{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G}$,

so dass alle Faktorgruppen ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$ zyklisch sind.

Der wesentliche Unterschied zur Auflösbarkeit liegt darin, dass wir hier nicht nur fordern, dass ${\displaystyle G_{i}}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle G_{i+1}}$ ist, um die Faktorgruppen bilden zu können, sondern die stärkere Forderung stellen, dass die ${\displaystyle G_{i}}$ sogar Normalteiler in ${\displaystyle G}$ sind. Überauflösbarkeit ist daher ein stärkerer Begriff als Auflösbarkeit.

Beispiele

• Trivialerweise ist jede zyklische Gruppe überauflösbar. Damit sind die Gruppen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ überauflösbar, sowie endliche direkte Summen aus solchen.
• Endlich erzeugte nilpotente Gruppen sind überauflösbar.
• Die symmetrische Gruppe S₃ ist überauflösbar aber nicht nilpotent, denn

${\displaystyle \{(1)\}\vartriangleleft \{(1),(123),(132)\}\vartriangleleft S_{3}}$

erfüllt offenbar die Definition, aber da die Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ triviales Zentrum hat, kann sie nicht nilpotent sein.

• Die unendliche Diedergruppe ist überauflösbar aber nicht nilpotent.
• Die alternierende Gruppe A₄ ist auflösbar aber nicht überauflösbar.

Eigenschaften

• Überauflösbare Gruppen sind auflösbar, wie zur Definition bereits bemerkt wurde.
• Überauflösbare Gruppen sind polyzyklisch.
• Überauflösbare Gruppen genügen der Maximalbedingung, das heißt jede nicht-leere Menge von Untergruppen enthält eine maximale Untergruppe. Daraus folgt, dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist. Insbesondere sind überauflösbare Gruppen stets endlich erzeugt.
• Die definierende Reihe von Normalteilern einer überauflösbaren Gruppe ist nicht eindeutig bestimmt. Durch geeignete Operationen kann man sogar zu einer Reihe ${\displaystyle \{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G}$ übergehen, deren Faktoren ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$ wie folgt angeordnet sind: zunächst kommen alle zu ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ mit ungerader Primzahl p isomorphen Faktoren, und zwar in absteigender Reihenfolge, dann alle zu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ isomorphen Faktoren und schließlich alle zu ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ isomorphen Faktoren.
• Ist ${\displaystyle G}$ überauflösbar, so ist die Fitting-Untergruppe ${\displaystyle \mathrm {Fit} (G)}$ nilpotent und die Faktorgruppe ${\displaystyle G/\mathrm {Fit} (G)}$ ist endlich und abelsch.

Vererbungseigenschaften

• Untergruppen und homomorphe Bilder überauflösbarer Gruppen sind wieder überauflösbar.
• Die Umkehrung gilt nicht, die Klasse der überauflösbaren Gruppen ist nicht gegenüber Erweiterungen abgeschlossen. Die alternierende Gruppe ${\displaystyle A_{4}}$ enthält einen zur Kleinschen Vierergruppe isomorphen Normalteiler ${\displaystyle V}$. Dann sind ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle A_{4}/V\cong \mathbb {Z} _{3}}$ überauflösbar, ${\displaystyle A_{4}}$ selbst ist aber nicht überauflösbar.
• Bestimmte Erweiterungen allerdings sind überauflösbar: Ist ${\displaystyle G}$ eine Gruppe mit einem zyklischen Normalteiler ${\displaystyle N}$, so dass ${\displaystyle G/N}$ überauflösbar ist, so ist ${\displaystyle G}$ überauflösbar.
• Endliche direkte Summen überauflösbarer Gruppen sind wieder überauflösbar.
• Unendliche direkte Summen sind in der Regel nicht überauflösbar. So ist ${\displaystyle \oplus _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} _{2}}$ nicht überauflösbar, denn diese Gruppe genügt nicht der Maximalbedingung.

Endliche Gruppen

Für endliche Gruppen bestehen einige äquivalente Charakterisierungen, für die folgende Begriffe benötigt werden. ${\displaystyle \Phi (G)}$ bezeichne die Frattinigruppe der Gruppe ${\displaystyle G}$. Unter einer maximalen Kette in ${\displaystyle G}$ versteht man eine Kette ${\displaystyle \{1\}=M_{0}<M_{1}<\ldots <M_{n}=G}$ von Untergruppen, so dass jedes ${\displaystyle M_{i}}$ maximale Untergruppe in ${\displaystyle M_{i+1}}$ ist für ${\displaystyle 0\leq i<n}$, die Zahl n heißt die Länge dieser Kette.

Für eine endliche Gruppe ${\displaystyle G}$ sind äquivalent:

• ${\displaystyle G}$ ist überauflösbar.
• (B. Huppert) Jede maximale Untergruppe hat eine Primzahl als Index.
• ${\displaystyle G/\Phi (G)}$ ist überauflösbar.
• (K. Iwasawa) Je zwei maximale Ketten in ${\displaystyle G}$ haben dieselbe Länge.

Für endliche Gruppen gelten die Implikationen

zyklisch   ${\displaystyle \Rightarrow }$   abelsch   ${\displaystyle \Rightarrow }$   nilpotent   ${\displaystyle \Rightarrow }$   überauflösbar   ${\displaystyle \Rightarrow }$   auflösbar.

Das obige Beispiel ${\displaystyle \oplus _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} _{2}}$ zeigt, dass für unendliche Gruppen aus abelsch nicht notwendig überauflösbar folgt.

Einzelnachweise

1. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.4.6. (ii)
2. John C. Lennox: Theory of Infinite Soluble Groups, Clarendon Press (2004), ISBN 978-0-191-52315-1, Seite 15
3. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.4.8.
4. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.4.10.
5. W. R. Scott: Group Theory, Dover Publications (2010), ISBN 978-0-486-65377-8, Satz 7.2.4
6. W. R. Scott: Group Theory, Dover Publications (2010), ISBN 978-0-486-65377-8, Satz 7.2.14
7. W. R. Scott: Group Theory, Dover Publications (2010), ISBN 978-0-486-65377-8, Satz 7.2.5
8. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 9.4.4.
9. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 9.4.5.
10. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 10.3.5.