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Das Dreikörperproblem der Himmelsmechanik besteht darin eine Lösung Vorhersage für den Bahnverlauf dreier Körper unter d
Dreikörperproblem
Das Dreikörperproblem der Himmelsmechanik besteht darin, eine Lösung (Vorhersage) für den Bahnverlauf dreier Körper unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Anziehung (Newtonsches Gravitationsgesetz) zu finden. Um quantitative Resultate zu erlangen, muss es im allgemeinen Fall bislang numerisch gelöst werden.
Mathematisch-Historisches
Das Dreikörperproblem galt seit den Entdeckungen von Johannes Kepler und Nikolaus Kopernikus als eines der schwierigsten mathematischen Probleme, mit dem sich im Laufe der Jahrhunderte viele bekannte Mathematiker wie Alexis-Claude Clairaut, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Thorvald Nicolai Thiele, George William Hill und Henri Poincaré beschäftigten. Im allgemeinen Fall erfolgt die Bewegung chaotisch und kann nur numerisch berechnet werden.
Die beiden Grafiken zeigen ein Beispiel für eine Simulationsrechnung. In kleinen Zeitintervallschritten werden die angreifenden Gravitationskräfte und daraus die Verschiebung berechnet. Selbst bei identischen Ausgangsbedingungen erhält man völlig verschiedene Prognosen, wenn die Länge der Zeitintervalle variiert.
Sonderfall
Den Spezialfall, dass einer der drei Körper eine verschwindend kleine Masse hat und seine Wirkung auf die beiden anderen vernachlässigt werden kann, bezeichnet man als eingeschränktes Dreikörperproblem.
Allgemeine Aussagen
Das Zweikörperproblem ist durch die Kepler’schen Gesetze analytisch lösbar. Dagegen sind die Integrale im Fall von mehr als zwei Himmelskörpern nicht mehr algebraisch integrierbar, also nicht mehr mit elementaren Funktionen darstellbar. Karl Frithiof Sundman konnte Anfang des 20. Jahrhunderts als Erster eine analytische Lösung des Dreikörperproblems in Form einer konvergenten Potenzreihe angeben, unter der Annahme, dass der Gesamtdrehimpuls des Systems nicht verschwindet und es deshalb nicht zu einem kommt, bei dem der Abstand aller drei Körper Null beträgt. Für praktische Berechnungen ist Sundmans Lösung allerdings nicht brauchbar, da bei der Summe mindestens 10 hoch 8.000.000 Terme berücksichtigt werden müssten, um eine hinreichende Genauigkeit zu erzielen.
Die Stabilität eines Dreikörpersystems wird durch das Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem beschrieben.
Näherungs- oder exakte Lösungen sind in manchen Fällen möglich:
- Wenn die Masse eines der Himmelskörper klein ist, dann löst man das Dreikörperproblem iterativ, heutzutage mit Computern, oder berechnet Bahnstörungen, die der kleinste (leichteste) Körper durch die größeren (schwereren) erleidet.
- Exakt lösbar ist der schon erwähnte Sonderfall des Gleichgewichts der Anziehungskraft zweier großer (schwerer) Körper auf einen verschwindend kleinen (leichten) Körper (unter Berücksichtigung der im sich drehenden Bezugssystem auftretenden Scheinkräfte) in den Lagrange-Punkten L1 bis L5. Der innere Punkt L1 wird beispielsweise in der Raumfahrt zur Sonnenforschung verwendet. Das Sonnenobservatorium SOHO befindet sich dort. Das Infrarot-Teleskop JWST von NASA, ESA und CSA befindet sich auf einer Umlaufbahn um den Lagrange-Punkt L2.
- Für den Fall dreier gleicher Massen gibt es eine Lösung, bei der die Objekte auf einer gemeinsamen Bahn, die die Form eines Unendlichzeichens () hat, hintereinander herlaufen.
Verallgemeinerung
Die Verallgemeinerung des Dreikörperproblems ist das Mehrkörperproblem. Allgemeine Mehrkörperprobleme behandelt man durch Mehrkörpersimulationen.
Rezeption
- Im Science-Fiction-Roman Die drei Sonnen des chinesischen Autors Cixin Liu spielt das Dreikörperproblem eine entscheidende Rolle bei der Verständigung mit einer außerirdischen Zivilisation.
- In einem Kriminalroman der Mathematikerin Leila Schneps (unter dem Pseudonym Catherine Shaw) geht es um drei Menschenkörper: Mordopfer, die bei einem Wettbewerb zum Dreikörperproblem miteinander konkurrierten. Die Mathematik sei korrekt dargestellt, der viktorianische Sprachstil gewöhnungsbedürftig, urteilte ein Kritiker.
Siehe auch
- Tisserandparameter
- Hill-Sphäre
- Sitnikov-Problem
Literatur
- Victor Szebehely: The theory of orbits: The Restricted Problem of Three Bodies, Academic Press 1967
- Richard Montgomery: Das Dreikörper-Problem. In: Spektrum der Wissenschaft. 2020, Heft 3, S. 12–19.
Weblinks
- Chaos und Komplexitätstheorie. (PDF; 31 kB).
- Numerische Berechnungen von Planetenbahnen.
Anmerkungen
- Nach einem Theorem von Poincaré, das einen Satz von Bruns verallgemeinert.
- June Barrow-Green: The dramatic episode of Sundman. In: Abschnitt 9. The reception of Sundman’s work.
„In 1930 David Beloriszky […] calculated that if Sundman’s series were going to be used for astronomical observations then the computations would involve at least 108,000,000 terms!“
- Catherine Shaw: The Three-Body Problem. Allison & Busby, 2013, ISBN 0-749-01444-X (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
Autor: www.NiNa.Az
Veröffentlichungsdatum:
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Das Dreikorperproblem der Himmelsmechanik besteht darin eine Losung Vorhersage fur den Bahnverlauf dreier Korper unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Anziehung Newtonsches Gravitationsgesetz zu finden Um quantitative Resultate zu erlangen muss es im allgemeinen Fall bislang numerisch gelost werden Die chaotischen Bewegungen dreier KorperMathematisch HistorischesDas Dreikorperproblem galt seit den Entdeckungen von Johannes Kepler und Nikolaus Kopernikus als eines der schwierigsten mathematischen Probleme mit dem sich im Laufe der Jahrhunderte viele bekannte Mathematiker wie Alexis Claude Clairaut Leonhard Euler Joseph Louis Lagrange Thorvald Nicolai Thiele George William Hill und Henri Poincare beschaftigten Im allgemeinen Fall erfolgt die Bewegung chaotisch und kann nur numerisch berechnet werden Die beiden Grafiken zeigen ein Beispiel fur eine Simulationsrechnung In kleinen Zeitintervallschritten werden die angreifenden Gravitationskrafte und daraus die Verschiebung berechnet Selbst bei identischen Ausgangsbedingungen erhalt man vollig verschiedene Prognosen wenn die Lange der Zeitintervalle variiert Sehr kleine IntervallschritteEtwas vergroberte IntervallschritteSonderfallDen Spezialfall dass einer der drei Korper eine verschwindend kleine Masse hat und seine Wirkung auf die beiden anderen vernachlassigt werden kann bezeichnet man als eingeschranktes Dreikorperproblem Allgemeine AussagenDas Zweikorperproblem ist durch die Kepler schen Gesetze analytisch losbar Dagegen sind die Integrale im Fall von mehr als zwei Himmelskorpern nicht mehr algebraisch integrierbar also nicht mehr mit elementaren Funktionen darstellbar Karl Frithiof Sundman konnte Anfang des 20 Jahrhunderts als Erster eine analytische Losung des Dreikorperproblems in Form einer konvergenten Potenzreihe angeben unter der Annahme dass der Gesamtdrehimpuls des Systems nicht verschwindet und es deshalb nicht zu einem kommt bei dem der Abstand aller drei Korper Null betragt Fur praktische Berechnungen ist Sundmans Losung allerdings nicht brauchbar da bei der Summe mindestens 10 hoch 8 000 000 Terme berucksichtigt werden mussten um eine hinreichende Genauigkeit zu erzielen Die Stabilitat eines Dreikorpersystems wird durch das Kolmogorow Arnold Moser Theorem beschrieben Naherungs oder exakte Losungen sind in manchen Fallen moglich Wenn die Masse eines der Himmelskorper klein ist dann lost man das Dreikorperproblem iterativ heutzutage mit Computern oder berechnet Bahnstorungen die der kleinste leichteste Korper durch die grosseren schwereren erleidet Exakt losbar ist der schon erwahnte Sonderfall des Gleichgewichts der Anziehungskraft zweier grosser schwerer Korper auf einen verschwindend kleinen leichten Korper unter Berucksichtigung der im sich drehenden Bezugssystem auftretenden Scheinkrafte in den Lagrange Punkten L1 bis L5 Der innere Punkt L1 wird beispielsweise in der Raumfahrt zur Sonnenforschung verwendet Das Sonnenobservatorium SOHO befindet sich dort Das Infrarot Teleskop JWST von NASA ESA und CSA befindet sich auf einer Umlaufbahn um den Lagrange Punkt L2 Fur den Fall dreier gleicher Massen gibt es eine Losung bei der die Objekte auf einer gemeinsamen Bahn die die Form eines Unendlichzeichens displaystyle infty hat hintereinander herlaufen VerallgemeinerungDie Verallgemeinerung des Dreikorperproblems ist das Mehrkorperproblem Allgemeine Mehrkorperprobleme behandelt man durch Mehrkorpersimulationen RezeptionIm Science Fiction Roman Die drei Sonnen des chinesischen Autors Cixin Liu spielt das Dreikorperproblem eine entscheidende Rolle bei der Verstandigung mit einer ausserirdischen Zivilisation In einem Kriminalroman der Mathematikerin Leila Schneps unter dem Pseudonym Catherine Shaw geht es um drei Menschenkorper Mordopfer die bei einem Wettbewerb zum Dreikorperproblem miteinander konkurrierten Die Mathematik sei korrekt dargestellt der viktorianische Sprachstil gewohnungsbedurftig urteilte ein Kritiker Siehe auchTisserandparameter Hill Sphare Sitnikov 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sh85135013