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Dieser Artikel behandelt die physikalische Größe aus der Elektrostatik Zur Kapazität einer Batterie siehe Kapazität galv

Elektrische Kapazität

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Elektrische Kapazität
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Dieser Artikel behandelt die physikalische Größe aus der Elektrostatik. Zur Kapazität einer Batterie siehe Kapazität (galvanische Zelle).

Die elektrische Kapazität (Formelzeichen C{\displaystyle C}, von lateinisch capacitas ‚Fassungsvermögen‘; Adjektiv kapazitiv) ist eine physikalische Größe aus dem Bereich der Elektrostatik und damit aus dem Gebiet der Elektrotechnik.

Physikalische Größe
Name Elektrische Kapazität
Formelzeichen C{\displaystyle C}
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI F M−1·L−2·T4·I2
Gauß, esE (cgs) cm L
emE (cgs) L·T2

Die elektrische Kapazität zwischen zwei elektrisch leitenden, aber voneinander isolierten Körpern ist gleich dem Verhältnis der Ladungsmenge Q{\displaystyle Q}, die auf diesen Leitern gespeichert ist (+Q{\displaystyle +Q} auf dem einen und −Q{\displaystyle -Q} auf dem anderen), und der zwischen ihnen herrschenden elektrischen Spannung U{\displaystyle U}:

C=QU{\displaystyle C={\frac {Q}{U}}}

Gemessen wird sie in der SI-Einheit Farad.

Die Kapazität resultiert aus der Dielektrizitätskonstante des isolierenden Mediums sowie der Gestalt der Körper, dazu zählt auch der Abstand.

Bei Akkumulatoren sowie Batterien benutzt man den Begriff „Kapazität“ für die maximale Ladungsmenge Q{\displaystyle Q}, die in ihnen gespeichert werden kann. Sie wird in der Einheit Amperestunden (Einheitenzeichen Ah) angegeben. Diese „Kapazität“ der elektrischen Ladung hat nichts mit der hier dargestellten elektrischen Kapazität zu tun.

Kapazität eines Kondensators

Eine technische Anwendung findet die Kapazität in Form von elektrischen Kondensatoren, die durch die Angabe einer bestimmten Kapazität charakterisiert werden. Der Begriff „Kapazität“ wird umgangssprachlich auch synonym für das elektrische Bauelement Kondensator selbst (englisch capacitor) verwendet. Ein Kondensator ist eine Leiteranordnung mit zwei Elektroden zur getrennten Speicherung von elektrischer Ladung +Q{\displaystyle +Q} und −Q{\displaystyle -Q}. In physikalischer Sicht rührt der elektrische Fluss Ψ{\displaystyle \Psi } von den getrennten elektrischen Ladungen +Q{\displaystyle +Q} und −Q{\displaystyle -Q} her, die von der externen Spannungsquelle mit der Spannung U{\displaystyle U} auf die Elektroden transportiert werden, womit sich:

Q=C⋅U{\displaystyle Q=C\cdot U}

ergibt. Formal erfolgt dieser Zusammenhang über das Gaußsche Gesetz. Die elektrische Kapazität eines Kondensators kann dann als das Verhältnis der Ladungsmenge Q{\displaystyle Q} zur angelegten Spannung U{\displaystyle U} ausgedrückt werden:

C=QU{\displaystyle C={\frac {Q}{U}}}.

Dabei ist C{\displaystyle C} üblicherweise eine konstante Kenngröße, die sich wie folgt ergibt.

Ein Körper, auf den eine positive elektrische Ladung gegeben wird, hat dadurch ein elektrisches Feld, das der Bewegung einer weiteren positiven elektrischen Ladung auf den Körper entgegenwirkt. Befindet sich nun aber ein Körper in der Nähe, der negativ geladen ist, so wird das abstoßende elektrische Feld des positiven Körpers geschwächt (die auf den Körper zu bewegende positive Ladung spürt auch die Kraft der anziehenden negativen Ladung). Damit wird weniger Spannung benötigt, um die weitere positive Ladung auf den bereits positiv geladenen Körper zu bewegen, als ohne den zweiten, negativ geladenen Körper. Der erste Körper hat also eine höhere Kapazität. Das Gleiche gilt natürlich auch für den zweiten Körper. Die Abschwächung des elektrischen Feldes durch den einen geladenen Körper auf den anderen geladenen Körper wird beeinflusst durch deren Geometrie und die Permittivität des isolierenden Mediums zwischen den beiden Körpern.

In einer vereinfachten Analogie entspricht die Kapazität dem Volumen eines Druckluftbehälters mit konstanter Temperatur. Der Luftdruck ist dabei analog zur Spannung U{\displaystyle U} und die Luftmenge analog zur Ladungsmenge Q{\displaystyle Q}. Daher ist die Ladungsmenge im Kondensator proportional zur Spannung.

Diese Gesetzmäßigkeit gilt auch für die sogenannte Pseudokapazität, einer innerhalb enger Grenzen spannungsabhängigen elektrochemischen bzw. faradayschen Speicherung elektrischer Energie, die mit in einer Redoxreaktion und mit einem Ladungsaustausch an Elektroden von Superkondensatoren verbunden ist, wobei allerdings im Gegensatz zu Akkumulatoren an den Elektroden keine chemische Stoffänderung eintritt.

Unter anderem die Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) befasst sich mit Kapazitätsnormalen.

Einheiten

SI-Einheit

Die elektrische Kapazität wird in der SI-Einheit Farad gemessen, die nach dem englischen Physiker und Chemiker Michael Faraday benannt wurde. Ein Farad (1 F) ist diejenige Kapazität, die beim Anlegen einer Spannung von 1 Volt eine Ladungsmenge von 1 Coulomb (1 C = 1 As) speichert:

[C]=[Q][U]=1C1V=1As1V=1F{\displaystyle [C]={\frac {[Q]}{[U]}}={\frac {1\,\mathrm {C} }{1\,\mathrm {V} }}={\frac {1\,\mathrm {As} }{1\,\mathrm {V} }}=1\,\mathrm {F} }

Ein Kondensator der Kapazität 1 Farad lädt sich bei einem konstanten Ladestrom von 1 Ampere in 1 Sekunde auf die Spannung 1 Volt auf.

CGS-Einheit

Bis Mitte des 20. Jahrhunderts wurde die Kapazität von Kondensatoren häufig mit der Kapazitätseinheit cm beschriftet. Diese Angabe in Zentimetern rührt daher, dass die Kapazität im heute praktisch kaum noch gebrauchten Gaußschen Einheitensystem in der Längendimension ausgedrückt wird. So weist eine Metallkugel mit 5 cm Radius gegenüber einer sich im Unendlichen befindlichen Gegenelektrode eine Kapazität von 5 cm auf.

Das Foto zeigt einen Papierkondensator der Marke SATOR der ehemaligen Firma Kremenezky, Mayer & Co aus dem Jahr 1950 mit einer Kapazität von 5000 cm. Das entspricht der Kapazität einer Metallkugel von 5000 cm Radius. Dargestellt im heute üblichen SI-Einheitensystem sind das ca. 5,6 nF.

Eine Kapazität von 1 cm im Gaußschen Einheitensystem entspricht ca. 1,11 pF im SI-Einheitensystem. Der Umrechnungsfaktor beträgt {c}2·10−9 ≈ 9e11, wobei {c} der Zahlenwert der Lichtgeschwindigkeit ausgedrückt in cm/s ist.

Kapazität bestimmter Elektrodengeometrien

Für die Kapazität einer Reihe von einfachen Elektrodenformen (grau dargestellt) gibt es analytische Lösungen oder konvergente Reihenentwicklungen. Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele. Darin bezeichnet A die Fläche der Elektroden, d deren Abstand, l deren Länge, R1{\displaystyle R_{1}} sowie R2{\displaystyle R_{2}} deren Radien.

Die Konstante ε=ε0εr{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }} ist die Permittivität (dielektrische Leitfähigkeit) des blau dargestellten Dielektrikums. Dabei ist ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}} die elektrische Feldkonstante und εr{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }} die Permittivitätszahl, eine stoffabhängige Größe (εr=1{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }=1} im Vakuum).

Bezeichnung Kapazität Schematische Darstellung
Plattenkondensator C=ε⋅Ad{\displaystyle C=\varepsilon \cdot {\frac {A}{d}}}
Plattenkondensator
unterschiedlich große Platten
C=2εd⋅A1A2A1+A2{\displaystyle C={\frac {2\varepsilon }{d}}\cdot {\frac {A_{1}A_{2}}{A_{1}+A_{2}}}}
Koaxialkabel oder
Zylinderkondensator
C=2πεlln(R2R1){\displaystyle C=2\pi \varepsilon \,{\frac {l}{\ln \!\left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}}}
Kugelkondensator C=4πε1R1−1R2{\displaystyle C={\frac {4\pi \varepsilon }{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}}
Kugel, Gegenelektrode
mit R2{\displaystyle R_{2}} gegen unendlich
C=4πε⋅R1{\displaystyle C=4\pi \varepsilon \cdot R_{1}}
Parallele Zylinder
(Lecher-Leitung)
C=πεlarcosh⁡(d2R){\displaystyle C={\frac {\pi \varepsilon l}{\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2R}}\right)}}}
Ein Leiter parallel
über ebener Fläche.
C=2πεlarcosh⁡(dR){\displaystyle C={\frac {2\pi \varepsilon l}{\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{R}}\right)}}}
d>R{\displaystyle d>R}
Zwei Kugeln mit
identischem
Radius a{\displaystyle a}
C=2πεa∑n=1∞sinh⁡(ln⁡(D+D2−1))sinh⁡(nln⁡(D+D2−1)){\displaystyle C=2\pi \varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}}
=2πεa{1+12D+14D2+18D3+18D4+332D5+O(1D6)}{\displaystyle =2\pi \varepsilon a\left\{1+{\frac {1}{2D}}+{\frac {1}{4D^{2}}}+{\frac {1}{8D^{3}}}+{\frac {1}{8D^{4}}}+{\frac {3}{32D^{5}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{D^{6}}}\right)\right\}}
=2πεa{ln⁡2+γ−12ln⁡(2D−2)+O(2D−2)}{\displaystyle =2\pi \varepsilon a\left\{\ln 2+\gamma -{\frac {1}{2}}\ln \left(2D-2\right)+{\mathcal {O}}\left(2D-2\right)\right\}}

d{\displaystyle d}: Abstand der Kugeln, d>2a{\displaystyle d>2a}
D{\displaystyle D}: d/2a>1{\displaystyle d/2a>1}
γ{\displaystyle \gamma }: Euler-Mascheroni-Konstante

Kreisscheibe
gegen unendlich
C=8εa{\displaystyle C=8\varepsilon a}
a{\displaystyle a}: Radius
Gerades Drahtstück
(langer Zylinder)
gegen unendlich
C=2πεlΛ{1+1Λ(1−ln⁡2)+1Λ2[1+(1−ln⁡2)2−π212]+O(1Λ3)}{\displaystyle C={\frac {2\pi \varepsilon l}{\Lambda }}\left\{1+{\frac {1}{\Lambda }}\left(1-\ln 2\right)+{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\left[1+\left(1-\ln 2\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\Lambda ^{3}}}\right)\right\}}
l{\displaystyle l}: Länge
a{\displaystyle a}: Drahtradius
Λ{\displaystyle \Lambda }: ln⁡(l/a){\displaystyle \ln(l/a)}

Dabei bezeichnet das Landau-Symbol O{\displaystyle {\mathcal {O}}} den Fehlerterm der Approximation.

Berechnungen

Folgende allgemeine Gleichungen für die Bestimmung der Kapazität gelten für die jeweils zeitabhängigen Größen Strom i(t){\displaystyle i(t)}, Spannung u(t){\displaystyle u(t)} und Ladung q(t){\displaystyle q(t)} an einer konstanten elektrischen Kapazität C{\displaystyle C}:

i(t)=dq(t)dt=C⋅du(t)dt{\displaystyle i(t)={\frac {\mathrm {d} q(t)}{\mathrm {d} t}}=C\cdot {\frac {\mathrm {d} u(t)}{\mathrm {d} t}}}
u(t)=1C⋅∫i(t)dt{\displaystyle u(t)={\frac {1}{C}}\cdot \int i(t)\,\mathrm {d} t}

Ein Ausdruck für die Kapazität einer beliebigen Elektrodenanordnung oder Ladungsverteilung lässt sich mittels des Gaußschen Satzes herleiten:

C=QU=∮AD→⋅dA→∫sE→⋅ds→{\displaystyle C={\frac {Q}{U}}={\frac {\oint _{A}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}{\int _{s}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}}}}

Dabei beträgt die dielektrische Verschiebung D→=ε0⋅εr⋅E→{\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{\mathrm {r} }\cdot {\vec {E}}}, also:

C=ε0⋅εr⋅∮AE→⋅dA→∫sE→⋅ds→{\displaystyle C=\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{\mathrm {r} }\cdot {\frac {\oint _{A}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}{\int _{s}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}}}}

Für ein Vakuum vereinfacht sich diese Gleichung wegen εr=1{\displaystyle \varepsilon _{r}=1} zu:

C=ε0⋅∮AE→⋅dA→∫sE→⋅ds→{\displaystyle C=\varepsilon _{0}\cdot {\frac {\oint _{A}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}{\int _{s}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}}}}

Eine Berechnung der Kapazität erfordert die Kenntnis des elektrischen Feldes. Hierfür ist die Laplace-Gleichung ∇2φ=0{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0} mit einem konstanten Potential φ{\displaystyle \varphi } auf den Leiteroberflächen zu lösen. In komplizierteren Fällen existiert keine geschlossene Form der Lösung.

Messung

Das Messen der Kapazität dient nicht nur der Kontrolle der Kapazität eines Kondensators (Bauteil), sondern wird beispielsweise in kapazitiven Abstandssensor zur Abstandsbestimmung herangezogen. Auch weitere Sensoren (Druck, Feuchte, Gase) beruhen oft auf einer Kapazitätsmessung.

Entsprechend den oben genannten Zusammenhängen kann die Kapazität folgendermaßen bestimmt werden:

  • Laden mit konstantem Strom und Beobachten der Spannungsanstiegsgeschwindigkeit
  • Messen der Resonanzfrequenz eines mit der Kapazität gebildeten LC-Schwingkreises
  • Anlegen einer Wechselspannung und Messen des Stromverlaufes

Insbesondere das letztgenannte Verfahren wird in Kapazitätsmessgeräten angewendet, wobei nicht nur die Größe des Stromes, sondern auch seine Phasenlage zur Spannung erfasst wird. Auf diese Weise können auch die elektrische Impedanz und der Verlustwinkel bzw. der Gütefaktor des Kondensators bestimmt werden.

Literatur

  • Karl Küpfmüller, Wolfgang Mathis, Albrecht Reibiger: Theoretische Elektrotechnik : Eine Einführung. 18. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-78589-7. 

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. DIN 40110-1:1994: Wechselstromgrößen
  2. IEC 60050, deutschsprachige Ausgabe bei DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE: Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch, IEV-Nummer 131-12-13
  3. capacitance of a parallel plate capacitor with different areas. 2017, abgerufen am 21. September 2021 (englisch). 
  4. James Clerk Maxwell: A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover 1873, ISBN 0-486-60637-6, S. 266 ff. (englisch). 
  5. A. D. Rawlins: Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres. In: IMA Journal of Applied Mathematics. Band 34, Nr. 1, 1985, S. 119–120, doi:10.1093/imamat/34.1.119 (englisch). 
  6. J.D. Jackson: Classical Electrodynamics. Wiley, 1975, S. 128, problem 3.3 (englisch). 
  7. James Clerk Maxwell: On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness. In: Proc. London Math. Soc. Band IX, 1878, S. 94–101, doi:10.1112/plms/s1-9.1.94 (englisch). 
  8. L. A. Vainshtein: Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas. In: Zh. Tekh. Fiz. Band 32, 1962, S. 1165–1173 (englisch). 
  9. J. D. Jackson: Charge density on thin straight wire, revisited. In: Am. J. Phys. Band 68, Nr. 9, 2000, S. 789–799, doi:10.1119/1.1302908, bibcode:2000AmJPh..68..789J (englisch). 

Autor: www.NiNa.Az

Veröffentlichungsdatum: 15 Jul 2025 / 15:53

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des isolierenden Mediums sowie der Gestalt der Korper dazu zahlt auch der Abstand Bei Akkumulatoren sowie Batterien benutzt man den Begriff Kapazitat fur die maximale Ladungsmenge Q displaystyle Q die in ihnen gespeichert werden kann Sie wird in der Einheit Amperestunden Einheitenzeichen Ah angegeben Diese Kapazitat der elektrischen Ladung hat nichts mit der hier dargestellten elektrischen Kapazitat zu tun Kapazitat eines KondensatorsEine technische Anwendung findet die Kapazitat in Form von elektrischen Kondensatoren die durch die Angabe einer bestimmten Kapazitat charakterisiert werden Der Begriff Kapazitat wird umgangssprachlich auch synonym fur das elektrische Bauelement Kondensator selbst englisch capacitor verwendet Ein Kondensator ist eine Leiteranordnung mit zwei Elektroden zur getrennten Speicherung von elektrischer Ladung Q displaystyle Q und Q displaystyle Q In physikalischer Sicht ruhrt der elektrische Fluss PS displaystyle Psi von den getrennten elektrischen Ladungen Q displaystyle Q und Q displaystyle Q her die von der externen Spannungsquelle mit der Spannung U displaystyle U auf die Elektroden transportiert werden womit sich Q C U displaystyle Q C cdot U ergibt Formal erfolgt dieser Zusammenhang uber das Gausssche Gesetz Die elektrische Kapazitat eines Kondensators kann dann als das Verhaltnis der Ladungsmenge Q displaystyle Q zur angelegten Spannung U displaystyle U ausgedruckt werden C QU displaystyle C frac Q U Dabei ist C displaystyle C ublicherweise eine konstante Kenngrosse die sich wie folgt ergibt Ein Korper auf den eine positive elektrische Ladung gegeben wird hat dadurch ein elektrisches Feld das der Bewegung einer weiteren positiven elektrischen Ladung auf den Korper entgegenwirkt Befindet sich nun aber ein Korper in der Nahe der negativ geladen ist so wird das abstossende elektrische Feld des positiven Korpers geschwacht die auf den Korper zu bewegende positive Ladung spurt auch die Kraft der anziehenden negativen Ladung Damit wird weniger Spannung benotigt um die weitere positive Ladung auf den bereits positiv geladenen Korper zu bewegen als ohne den zweiten negativ geladenen Korper Der erste Korper hat also eine hohere Kapazitat Das Gleiche gilt naturlich auch fur den zweiten Korper Die Abschwachung des elektrischen Feldes durch den einen geladenen Korper auf den anderen geladenen Korper wird beeinflusst durch deren Geometrie und die Permittivitat des isolierenden Mediums zwischen den beiden Korpern In einer vereinfachten Analogie entspricht die Kapazitat dem Volumen eines Druckluftbehalters mit konstanter Temperatur Der Luftdruck ist dabei analog zur Spannung U displaystyle U und die Luftmenge analog zur Ladungsmenge Q displaystyle Q Daher ist die Ladungsmenge im Kondensator proportional zur Spannung Diese Gesetzmassigkeit gilt auch fur die sogenannte Pseudokapazitat einer innerhalb enger Grenzen spannungsabhangigen elektrochemischen bzw faradayschen Speicherung elektrischer Energie die mit in einer Redoxreaktion und mit einem Ladungsaustausch an Elektroden von Superkondensatoren verbunden ist wobei allerdings im Gegensatz zu Akkumulatoren an den Elektroden keine chemische Stoffanderung eintritt Unter anderem die Physikalisch Technische Bundesanstalt PTB befasst sich mit Kapazitatsnormalen EinheitenSI Einheit Die elektrische Kapazitat wird in der SI Einheit Farad gemessen die nach dem englischen Physiker und Chemiker Michael Faraday benannt wurde Ein Farad 1 F ist diejenige Kapazitat die beim Anlegen einer Spannung von 1 Volt eine Ladungsmenge von 1 Coulomb 1 C 1 As speichert C Q U 1C1V 1As1V 1F displaystyle C frac Q U frac 1 mathrm C 1 mathrm V frac 1 mathrm As 1 mathrm V 1 mathrm F Ein Kondensator der Kapazitat 1 Farad ladt sich bei einem konstanten Ladestrom von 1 Ampere in 1 Sekunde auf die Spannung 1 Volt auf CGS Einheit Papierkondensator mit der Kapazitat 5000 cm Bis Mitte des 20 Jahrhunderts wurde die Kapazitat von Kondensatoren haufig mit der Kapazitatseinheit cm beschriftet Diese Angabe in Zentimetern ruhrt daher dass die Kapazitat im heute praktisch kaum noch gebrauchten Gaussschen Einheitensystem in der Langendimension ausgedruckt wird So weist eine Metallkugel mit 5 cm Radius gegenuber einer sich im Unendlichen befindlichen Gegenelektrode eine Kapazitat von 5 cm auf Das Foto zeigt einen Papierkondensator der Marke SATOR der ehemaligen Firma Kremenezky Mayer amp Co aus dem Jahr 1950 mit einer Kapazitat von 5000 cm Das entspricht der Kapazitat einer Metallkugel von 5000 cm Radius Dargestellt im heute ublichen SI Einheitensystem sind das ca 5 6 nF Eine Kapazitat von 1 cm im Gaussschen Einheitensystem entspricht ca 1 11 pF im SI Einheitensystem Der Umrechnungsfaktor betragt c 2 10 9 9e 11 wobei c der Zahlenwert der Lichtgeschwindigkeit ausgedruckt in cm s ist Kapazitat bestimmter ElektrodengeometrienFur die Kapazitat einer Reihe von einfachen Elektrodenformen grau dargestellt gibt es analytische Losungen oder konvergente Reihenentwicklungen Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele Darin bezeichnet A die Flache der Elektroden d deren Abstand l deren Lange R1 displaystyle R 1 sowie R2 displaystyle R 2 deren Radien Die Konstante e e0er displaystyle varepsilon varepsilon 0 varepsilon mathrm r ist die Permittivitat dielektrische Leitfahigkeit des blau dargestellten Dielektrikums Dabei ist e0 displaystyle varepsilon 0 die elektrische Feldkonstante und er displaystyle varepsilon mathrm r die Permittivitatszahl eine stoffabhangige Grosse er 1 displaystyle varepsilon mathrm r 1 im Vakuum Bezeichnung Kapazitat Schematische DarstellungPlattenkondensator C e Ad displaystyle C varepsilon cdot frac A d Plattenkondensator unterschiedlich grosse Platten C 2ed A1A2A1 A2 displaystyle C frac 2 varepsilon d cdot frac A 1 A 2 A 1 A 2 Koaxialkabel oder Zylinderkondensator C 2pelln R2R1 displaystyle C 2 pi varepsilon frac l ln left frac R 2 R 1 right Kugelkondensator C 4pe1R1 1R2 displaystyle C frac 4 pi varepsilon frac 1 R 1 frac 1 R 2 Kugel Gegenelektrode mit R2 displaystyle R 2 gegen unendlich C 4pe R1 displaystyle C 4 pi varepsilon cdot R 1 Parallele Zylinder Lecher Leitung C pelarcosh d2R displaystyle C frac pi varepsilon l operatorname arcosh left frac d 2R right Ein Leiter parallel uber ebener Flache C 2pelarcosh dR displaystyle C frac 2 pi varepsilon l operatorname arcosh left frac d R right d gt R displaystyle d gt R Zwei Kugeln mit identischem Radius a displaystyle a C 2pea n 1 sinh ln D D2 1 sinh nln D D2 1 displaystyle C 2 pi varepsilon a sum n 1 infty frac sinh left ln left D sqrt D 2 1 right right sinh left n ln left D sqrt D 2 1 right right 2pea 1 12D 14D2 18D3 18D4 332D5 O 1D6 displaystyle 2 pi varepsilon a left 1 frac 1 2D frac 1 4D 2 frac 1 8D 3 frac 1 8D 4 frac 3 32D 5 mathcal O left frac 1 D 6 right right 2pea ln 2 g 12ln 2D 2 O 2D 2 displaystyle 2 pi varepsilon a left ln 2 gamma frac 1 2 ln left 2D 2 right mathcal O left 2D 2 right right d displaystyle d Abstand der Kugeln d gt 2a displaystyle d gt 2a D displaystyle D d 2a gt 1 displaystyle d 2a gt 1 g displaystyle gamma Euler Mascheroni KonstanteKreisscheibe gegen unendlich C 8ea displaystyle C 8 varepsilon a a displaystyle a RadiusGerades Drahtstuck langer Zylinder gegen unendlich C 2pelL 1 1L 1 ln 2 1L2 1 1 ln 2 2 p212 O 1L3 displaystyle C frac 2 pi varepsilon l Lambda left 1 frac 1 Lambda left 1 ln 2 right frac 1 Lambda 2 left 1 left 1 ln 2 right 2 frac pi 2 12 right mathcal O left frac 1 Lambda 3 right right l displaystyle l Lange a displaystyle a Drahtradius L displaystyle Lambda ln l a displaystyle ln l a Dabei bezeichnet das Landau Symbol O displaystyle mathcal O den Fehlerterm der Approximation BerechnungenAllgemeine Situation zur Kapazitatsbestimmung Folgende allgemeine Gleichungen fur die Bestimmung der Kapazitat gelten fur die jeweils zeitabhangigen Grossen Strom i t displaystyle i t Spannung u t displaystyle u t und Ladung q t displaystyle q t an einer konstanten elektrischen Kapazitat C displaystyle C i t dq t dt C du t dt displaystyle i t frac mathrm d q t mathrm d t C cdot frac mathrm d u t mathrm d t u t 1C i t dt displaystyle u t frac 1 C cdot int i t mathrm d t Ein Ausdruck fur die Kapazitat einer beliebigen Elektrodenanordnung oder Ladungsverteilung lasst sich mittels des Gaussschen Satzes herleiten C QU AD dA sE ds displaystyle C frac Q U frac oint A vec D cdot mathrm d vec A int s vec E cdot mathrm d vec s Dabei betragt die dielektrische Verschiebung D e0 er E displaystyle vec D varepsilon 0 cdot varepsilon mathrm r cdot vec E also C e0 er AE dA sE ds displaystyle C varepsilon 0 cdot varepsilon mathrm r cdot frac oint A vec E cdot mathrm d vec A int s vec E cdot mathrm d vec s Fur ein Vakuum vereinfacht sich diese Gleichung wegen er 1 displaystyle varepsilon r 1 zu C e0 AE dA sE ds displaystyle C varepsilon 0 cdot frac oint A vec E cdot mathrm d vec A int s vec E cdot mathrm d vec s Eine Berechnung der Kapazitat erfordert die Kenntnis des elektrischen Feldes Hierfur ist die Laplace Gleichung 2f 0 displaystyle nabla 2 varphi 0 mit einem konstanten Potential f displaystyle varphi auf den Leiteroberflachen zu losen In komplizierteren Fallen existiert keine geschlossene Form der Losung MessungDas Messen der Kapazitat dient nicht nur der Kontrolle der Kapazitat eines Kondensators Bauteil sondern wird beispielsweise in kapazitiven Abstandssensor zur Abstandsbestimmung herangezogen Auch weitere Sensoren Druck Feuchte Gase beruhen oft auf einer Kapazitatsmessung Entsprechend den oben genannten Zusammenhangen kann die Kapazitat folgendermassen bestimmt werden Laden mit konstantem Strom und Beobachten der Spannungsanstiegsgeschwindigkeit Messen der Resonanzfrequenz eines mit der Kapazitat gebildeten LC Schwingkreises Anlegen einer Wechselspannung und Messen des Stromverlaufes Insbesondere das letztgenannte Verfahren wird in Kapazitatsmessgeraten angewendet wobei nicht nur die Grosse des Stromes sondern auch seine Phasenlage zur Spannung erfasst wird Auf diese Weise konnen auch die elektrische Impedanz und der Verlustwinkel bzw der Gutefaktor des Kondensators bestimmt werden LiteraturKarl Kupfmuller Wolfgang Mathis Albrecht Reibiger Theoretische Elektrotechnik Eine Einfuhrung 18 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 78589 7 Einzelnachweise und AnmerkungenDIN 40110 1 1994 Wechselstromgrossen IEC 60050 deutschsprachige Ausgabe bei DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE Internationales Elektrotechnisches Worterbuch IEV Nummer 131 12 13 capacitance of a parallel plate capacitor with different areas 2017 abgerufen am 21 September 2021 englisch James Clerk Maxwell A Treatise on Electricity and Magnetism Dover 1873 ISBN 0 486 60637 6 S 266 ff englisch A D Rawlins Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres In IMA Journal of Applied Mathematics Band 34 Nr 1 1985 S 119 120 doi 10 1093 imamat 34 1 119 englisch J D Jackson Classical Electrodynamics Wiley 1975 S 128 problem 3 3 englisch James Clerk Maxwell On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness In Proc London Math Soc Band IX 1878 S 94 101 doi 10 1112 plms s1 9 1 94 englisch L A Vainshtein Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length III Approximate formulas In Zh Tekh Fiz Band 32 1962 S 1165 1173 englisch J D Jackson Charge density on thin straight wire revisited In Am J Phys Band 68 Nr 9 2000 S 789 799 doi 10 1119 1 1302908 bibcode 2000AmJPh 68 789J englisch

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