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Eine Häufigkeitsverteilung ist in der mathematischen Statistik zunächst eine Funktion die zu jedem vorkommenden wie auch
Häufigkeitsverteilung
Eine Häufigkeitsverteilung ist in der mathematischen Statistik zunächst eine Funktion, die zu jedem vorkommenden wie auch zu jedem möglichen Wert angibt, wie häufig dieser Wert vorgekommen ist. Es wird also im Sinne des Funktionsbegriffs jedem Element der Definitionsmenge, die hier die Menge der möglichen Ausprägungen eines Merkmals umfasst, ein Element aus der Wertemenge zugeordnet, die hier aus den relativen oder absoluten Häufigkeiten besteht.
Gleichzeitig ist die Verwendung dieser Funktion und insbesondere ihre grafische Darstellung eine in hohem Maße geeignete Methode zur statistischen Beschreibung von Daten (Messwerten, Merkmalswerten) und ihrer anschaulichen Darstellung. Wie jede Funktion kann eine solche Verteilung als Tabelle, Grafik oder modellhaft über eine Funktionsgleichung beschrieben werden.
Die Häufigkeitsverteilung ist in der deskriptiven Statistik die Entsprechung zur Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der schließenden Statistik. Letztere bietet eine Reihe mathematischer Funktionen, die zur Annäherung und Analyse von Häufigkeitsverteilungen herangezogen werden (wie etwa die Normalverteilung).
Verfahren
Die Datenmenge (Messwerte, Umfragedaten) bildet die zunächst ungeordnete Urliste. Als erstes wird sie geordnet oder sortiert. Aus der geordneten Urliste (Rangliste) lassen sich bereits Medianwert, Spannweite (statistische Streuung), Quantile und Interquartilsabstand entnehmen und die Standardabweichung abschätzen.
Anschließend werden gleiche Werte zusammengefasst und zu jedem Wert notiert, wie oft dieser vorkommt. Dies wird als die absolute Häufigkeit bezeichnet. Die relativen Häufigkeiten werden bestimmt, indem die absoluten Häufigkeiten zur Gesamtzahl der Werte einer Stichprobe (Probenumfang) in Beziehung gesetzt werden. Nun liegt eine geordnete Menge von Wertepaaren (Merkmalswert und zugehörige relative Häufigkeit) vor. Dies kann auch als eine Rangfolge angesehen werden.
Die aufeinanderfolgende Summierung von relativen Häufigkeiten der einzelnen Merkmalswerte ergibt die Verteilungssumme respektive kumulierte Häufigkeit. Diese gibt für jeden Merkmalswert an, wie groß der Anteil an Werten kleiner oder gleich dem zugehörigen Merkmalswert ist. Bei vielen Häufigkeitsverteilungen beginnt diese bei dem Nullpunkt und verläuft bis zu einem Wert von eins beziehungsweise 100 Prozent. Werden die Werte grafisch dargestellt, ergibt sich eine schwach monoton steigende Kurve, meist in gestreckter S-Form. Es gibt zahlreiche Versuche, reale Verteilungssummen durch Funktionsgleichungen näherungsweise wiederzugeben. Die Verteilungssummen in Abhängigkeit von den Merkmalswerten sind die einfachste Art der Darstellung einer Häufigkeitsverteilung.
Die weitere Rechnung erfordert eine Einteilung der Merkmalswerte in Klassen. Dazu werden die vorkommenden Wertebereiche in meist gleich breite Klassen eingeteilt. Häufig werden dabei die seltenen Werte an den Rändern (siehe Ausreißer) in größeren Klassen zusammengefasst. Dadurch ergeben sich die Dichtefunktionen, welche im Fall einer stetigen Verteilung die Ableitung der Empirischen Verteilungsfunktion nach dem Merkmalswert sind. Ferner lässt sich die Häufigkeit nicht nur durch Zählen ermitteln, sondern beispielsweise auch durch Wiegen. Dadurch ergibt sich eine Massenverteilung anstelle einer . Im Prinzip eignet sich jede additive Größe zum Messen der Häufigkeit.
Wenn eine Zufallsstichprobe stark von der erwarteten Verteilung abweicht, kann dies durch den Stichprobenzufall, aber auch durch unerkannte Einflüsse, Auswahleffekte oder einen Trend verursacht sein. Besteht der Probenumfang in einer Überlagerung mehrerer Teilmengen (Altersverteilung, Berufe, Gruppen), so kann die Häufigkeitsverteilung, anstatt lediglich ein Maximum aufzuweisen, auch zwei- oder mehrgipfelig sein.
Siehe auch
- Bimodale Verteilung
- Histogramm, Dichtefunktion, Kerndichteschätzer
- Partikelgrößenverteilung
Literatur
- Lothar Sachs: Statistische Methoden. Springer, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52025-2.
Weblinks
- Literatur von und über Häufigkeitsverteilung im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
Autor: www.NiNa.Az
Veröffentlichungsdatum:
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Eine Haufigkeitsverteilung ist in der mathematischen Statistik zunachst eine Funktion die zu jedem vorkommenden wie auch zu jedem moglichen Wert angibt wie haufig dieser Wert vorgekommen ist Es wird also im Sinne des Funktionsbegriffs jedem Element der Definitionsmenge die hier die Menge der moglichen Auspragungen eines Merkmals umfasst ein Element aus der Wertemenge zugeordnet die hier aus den relativen oder absoluten Haufigkeiten besteht Beispiel einer absoluten Haufigkeitsverteilung prognostizierte Altersverteilung fur Deutschland im Jahr 2050 Gleichzeitig ist die Verwendung dieser Funktion und insbesondere ihre grafische Darstellung eine in hohem Masse geeignete Methode zur statistischen Beschreibung von Daten Messwerten Merkmalswerten und ihrer anschaulichen Darstellung Wie jede Funktion kann eine solche Verteilung als Tabelle Grafik oder modellhaft uber eine Funktionsgleichung beschrieben werden Die Haufigkeitsverteilung ist in der deskriptiven Statistik die Entsprechung zur Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der schliessenden Statistik Letztere bietet eine Reihe mathematischer Funktionen die zur Annaherung und Analyse von Haufigkeitsverteilungen herangezogen werden wie etwa die Normalverteilung VerfahrenDie Datenmenge Messwerte Umfragedaten bildet die zunachst ungeordnete Urliste Als erstes wird sie geordnet oder sortiert Aus der geordneten Urliste Rangliste lassen sich bereits Medianwert Spannweite statistische Streuung Quantile und Interquartilsabstand entnehmen und die Standardabweichung abschatzen Anschliessend werden gleiche Werte zusammengefasst und zu jedem Wert notiert wie oft dieser vorkommt Dies wird als die absolute Haufigkeit bezeichnet Die relativen Haufigkeiten werden bestimmt indem die absoluten Haufigkeiten zur Gesamtzahl der Werte einer Stichprobe Probenumfang in Beziehung gesetzt werden Nun liegt eine geordnete Menge von Wertepaaren Merkmalswert und zugehorige relative Haufigkeit vor Dies kann auch als eine Rangfolge angesehen werden Die aufeinanderfolgende Summierung von relativen Haufigkeiten der einzelnen Merkmalswerte ergibt die Verteilungssumme respektive kumulierte Haufigkeit Diese gibt fur jeden Merkmalswert an wie gross der Anteil an Werten kleiner oder gleich dem zugehorigen Merkmalswert ist Bei vielen Haufigkeitsverteilungen beginnt diese bei dem Nullpunkt und verlauft bis zu einem Wert von eins beziehungsweise 100 Prozent Werden die Werte grafisch dargestellt ergibt sich eine schwach monoton steigende Kurve meist in gestreckter S Form Es gibt zahlreiche Versuche reale Verteilungssummen durch Funktionsgleichungen naherungsweise wiederzugeben Die Verteilungssummen in Abhangigkeit von den Merkmalswerten sind die einfachste Art der Darstellung einer Haufigkeitsverteilung Die weitere Rechnung erfordert eine Einteilung der Merkmalswerte in Klassen Dazu werden die vorkommenden Wertebereiche in meist gleich breite Klassen eingeteilt Haufig werden dabei die seltenen Werte an den Randern siehe Ausreisser in grosseren Klassen zusammengefasst Dadurch ergeben sich die Dichtefunktionen welche im Fall einer stetigen Verteilung die Ableitung der Empirischen Verteilungsfunktion nach dem Merkmalswert sind Ferner lasst sich die Haufigkeit nicht nur durch Zahlen ermitteln sondern beispielsweise auch durch Wiegen Dadurch ergibt sich eine Massenverteilung anstelle einer Im Prinzip eignet sich jede additive Grosse zum Messen der Haufigkeit Wenn eine Zufallsstichprobe stark von der erwarteten Verteilung abweicht kann dies durch den Stichprobenzufall aber auch durch unerkannte Einflusse Auswahleffekte oder einen Trend verursacht sein Besteht der Probenumfang in einer Uberlagerung mehrerer Teilmengen Altersverteilung Berufe Gruppen so kann die Haufigkeitsverteilung anstatt lediglich ein Maximum aufzuweisen auch zwei oder mehrgipfelig sein Siehe auchBimodale Verteilung Histogramm Dichtefunktion Kerndichteschatzer PartikelgrossenverteilungLiteraturLothar Sachs Statistische Methoden Springer Berlin u a 1990 ISBN 3 540 52025 2 WeblinksWiktionary Haufigkeitsverteilung Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Literatur von und uber Haufigkeitsverteilung im Katalog der Deutschen NationalbibliothekNormdaten Sachbegriff GND 4158707 8 GND Explorer lobid OGND AKS