Komplexe Fläche

In der Mathematik sind komplexe Flächen lokal nach ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ modellierte ${\displaystyle 4}$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, deren Kartenwechsel holomorph sind.

Eine projektive analytische Fläche ist eine komplexe Fläche, die in einen komplex-projektiven Raum eingebettet werden kann. Eine komplexe algebraische Fläche ist eine komplexe Fläche, die durch polynomielle Gleichungen in einem komplex-projektiven Raum definiert wird. Nach dem Satz von Chow sind alle projektiven analytischen Flächen algebraisch. Die Hopf-Fläche ist ein Beispiel einer komplexen Fläche, die nicht projektiv analytisch ist.

Kurven auf Flächen

Eine irreduzible Kurve auf einer komplexen Fläche ist eine (evtl. singuläre) geschlossene, komplex ${\displaystyle 1}$-dimensionale Untermannigfaltigkeit, die nicht als Vereinigung zweier solcher Untermannigfaltigkeiten zerlegt werden kann. Nach dem Satz von Lefschetz über ${\displaystyle (1,1)}$-Klassen ist eine Kohomologieklasse in ${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$ genau dann eine ganzzahlige Linearkombination von Kurven, wenn sie zu ${\displaystyle H^{1,1}(M)\cap H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$ gehört.

Für nichtsinguläre Kurven ${\displaystyle C}$ gilt die Adjunktionsformel ${\displaystyle \chi (C)+C\cdot C=-K_{M}\cdot C}$.

Geradenbündel auf Flächen

Jede Klasse in ${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$ entspricht einem glatten komplexen Geradenbündel, aber nur Klassen in ${\displaystyle H^{1,1}(M)\cap H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$ sind Chern-Klassen holomorpher Geradenbündel. Wenn ${\displaystyle H^{1}(M;\mathbb {Z} )=0}$ ist, dann ist die Isomorphieklasse eines holomorphen Geradenbündels durch seine Chern-Klasse festgelegt.

Für einen meromorphen Schnitt ${\displaystyle f}$ bezeichnen ${\displaystyle N(f)}$ und ${\displaystyle P(f)}$ die aus den Null- bzw. Polstellen bestehenden Kurven, dann repräsentiert die Linearkombination ${\displaystyle N(f)-P(f)}$ die Chern-Klasse des Geradenbündels. Das holomorphe Geradenbündel hat genau dann einen holomorphen Schnitt, wenn die Chern-Klasse eine Linearkombination mit positiven Koeffizienten aus Kurven in der Fläche ist. Die Dimension des Raums der holomorphen Schnitte lässt mit dem Satz von Riemann-Roch abschätzen.

Für das einer komplexen Fläche folgt aus dem Signatursatz von Hirzebruch ${\displaystyle K_{M}\cdot K_{M}=3sign(M)+2\chi (M)}$.

Ein Geradenbündel ${\displaystyle L}$ heißt nef („numerically eventually free“), wenn ${\displaystyle L\cdot C\geq 0}$ für alle Kurven ${\displaystyle C}$ gilt.

Enriques-Kodaira-Klassifikation

Sei ${\displaystyle M}$ eine einfach zusammenhängende komplexe Fläche. Dann gibt es eine Folge von ${\displaystyle M\to M_{1}\to \ldots \to M_{n}}$ so dass entweder

• ${\displaystyle K_{M_{n}}}$ ist nef (in diesem Fall heißt ${\displaystyle M_{n}}$ das von ${\displaystyle M}$), oder
• ${\displaystyle M_{n}}$ ist ein ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$-Bündel über ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$ (in diesem Fall ist ${\displaystyle M_{n}}$ eine Regelfläche), oder
• ${\displaystyle M_{n}=\mathbb {C} P^{2}}$ (in diesem Fall ist ${\displaystyle M}$ eine ).

Für die minimalen Modelle, also für einfach zusammenhängende komplexe Flächen, deren kanonisches Bündel nef ist, hat man:

• wenn ${\displaystyle K_{M}\cdot C=0}$ für jede Kurve ${\displaystyle C}$ gilt, dann ist ${\displaystyle M}$ eine K3-Fläche,
• wenn es eine Kurve mit ${\displaystyle K_{M}\cdot C>0}$ und ${\displaystyle K_{M}\cdot K_{M}=0}$ gibt, dann ist ${\displaystyle M}$ eine ,
• andernfalls heißt ${\displaystyle M}$ Fläche allgemeinen Typs.

Literatur

• A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2005, ISBN 0-8218-3749-4/hbk