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In der algebraischen Geometrie wird eine Fläche in anderer Hinsicht als in der Differentialgeometrie und der Topologie u
Algebraische Fläche
In der algebraischen Geometrie wird eine Fläche in anderer Hinsicht als in der Differentialgeometrie und der Topologie untersucht. Eine algebraische Fläche wird mittels Polynomen definiert, die mathematisch gut erfasst sind. Mit den Werkzeugen der abstrakten Algebra werden allein durch Untersuchung der Polynome und ihrer Lösungsmengen Symmetrien und Singularitäten erkannt. Die Formenvielfalt und die Fülle der Theorie ist bei algebraischen Flächen wesentlich größer als bei algebraischen Kurven.
Definition
Eine algebraische Fläche ist immer eine algebraische Varietät, sie wird also durch polynomiale Gleichungen beschrieben. Die Punkte, die zu der Fläche gehören, sind genau die Lösungen der Gleichungen. Da es für algebraische Varietäten einen Dimensionsbegriff gibt, lassen sich Flächen, also Varietäten der Dimension zwei, von Kurven oder höherdimensionalen Varietäten unterscheiden.
Eine komplexe Varietät, die keine Singularitäten besitzt, ist gleichzeitig eine komplexe Mannigfaltigkeit. In diesem Fall muss zwischen komplexer und reeller Dimension unterschieden werden. So ist eine Riemannsche Fläche komplex ein- und reell zweidimensional, eine Danielewski-Fläche ist komplex zweidimensional und damit reell vierdimensional. Eine Riemannsche Fläche ist also keine komplexe Fläche, sondern eine komplexe Kurve.
Beispiele
Beispiele für algebraische Flächen erhält man wie folgt:
Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper, zum Beispiel der Körper der komplexen Zahlen, und ein nichtkonstantes Polynom in drei Variablen x, y und z mit Koeffizienten in k.. Dann ist die Nullstellenmenge von f, also die Menge eine affin algebraische Fläche.
Die einfachsten Flächen sind durch Ebenen gegeben, die durch lineare Gleichungen definiert werden, wobei a,b und c nicht alle Null sind. Ein weiteres Beispiel ist die Kugeloberfläche, die durch die Gleichung definiert ist.
Siehe auch
- Quadrik
- Kurve (algebraische Geometrie)
Weblinks
- Einige schöne algebraischen Flächen von Gerhard Brunthaler.
Autor: www.NiNa.Az
Veröffentlichungsdatum:
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In der algebraischen Geometrie wird eine Flache in anderer Hinsicht als in der Differentialgeometrie und der Topologie untersucht Eine algebraische Flache wird mittels Polynomen definiert die mathematisch gut erfasst sind Mit den Werkzeugen der abstrakten Algebra werden allein durch Untersuchung der Polynome und ihrer Losungsmengen Symmetrien und Singularitaten erkannt Die Formenvielfalt und die Fulle der Theorie ist bei algebraischen Flachen wesentlich grosser als bei algebraischen Kurven DefinitionEine algebraische Flache ist immer eine algebraische Varietat sie wird also durch polynomiale Gleichungen beschrieben Die Punkte die zu der Flache gehoren sind genau die Losungen der Gleichungen Da es fur algebraische Varietaten einen Dimensionsbegriff gibt lassen sich Flachen also Varietaten der Dimension zwei von Kurven oder hoherdimensionalen Varietaten unterscheiden Eine komplexe Varietat die keine Singularitaten besitzt ist gleichzeitig eine komplexe Mannigfaltigkeit In diesem Fall muss zwischen komplexer und reeller Dimension unterschieden werden So ist eine Riemannsche Flache komplex ein und reell zweidimensional eine Danielewski Flache ist komplex zweidimensional und damit reell vierdimensional Eine Riemannsche Flache ist also keine komplexe Flache sondern eine komplexe Kurve BeispieleBeispiele fur algebraische Flachen erhalt man wie folgt Sei k ein algebraisch abgeschlossener Korper zum Beispiel der Korper der komplexen Zahlen und f displaystyle f ein nichtkonstantes Polynom in drei Variablen x y und z mit Koeffizienten in k Dann ist die Nullstellenmenge von f also die Menge x y z k3 f x y z 0 displaystyle x y z in k 3 f x y z 0 eine affin algebraische Flache Die einfachsten Flachen sind durch Ebenen gegeben die durch lineare Gleichungen ax by cz d 0 displaystyle ax by cz d 0 definiert werden wobei a b und c nicht alle Null sind Ein weiteres Beispiel ist die Kugeloberflache die durch die Gleichung x2 y2 z2 1 0 displaystyle x 2 y 2 z 2 1 0 definiert ist Siehe auchQuadrik Kurve algebraische Geometrie WeblinksEinige schone algebraischen Flachen von Gerhard Brunthaler