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Ein inexaktes Differential auch unvollständiges Differential ist ein Differential welches kein vollständiges Differentia

Unvollständiges Differential

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Unvollständiges Differential
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Ein inexaktes Differential (auch unvollständiges Differential) ist ein Differential, welches kein vollständiges Differential ist. Mathematisch genauer ausgedrückt handelt es sich um eine Differentialform der Stufe 1, die nicht das totale Differential einer Funktion ist.

Inexakte Differentiale werden häufig so notiert, als handle es sich um das Differential einer Funktion, jedoch mit einem δ{\displaystyle \delta } statt einem d{\displaystyle \mathrm {d} }.
Beispielsweise ist

δf=g(x,y)dx+h(x,y)dy{\displaystyle \delta f=g(x,y)\,\mathrm {d} x+h(x,y)\,\mathrm {d} y}

ein inexaktes Differential, falls ∂g∂y≠∂h∂x{\displaystyle {\tfrac {\partial g}{\partial y}}\neq {\tfrac {\partial h}{\partial x}}}, da dann die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt ist. D. h. es gibt zu δf{\displaystyle \delta f} keine Funktion f{\displaystyle f}.

In der Thermodynamik haben Prozessgrößen, z. B. die Wärme Q{\displaystyle Q}, die ein System mit seiner Umgebung austauscht, inexakte Differentiale δQ{\displaystyle \delta Q}. Denn Q{\displaystyle Q} ist keine Funktion des Zustands, sondern hängt ab von der Prozessführung (siehe Wegintegral), daher ist das geschlossene Wegintegral typischerweise

∮CδQ=QC≠0,{\displaystyle \oint _{C}\delta Q=Q_{C}\neq 0,}

im Gegensatz zu einem geschlossenen Wegintegral einer Zustandsvariable:

∮CdF=0.{\displaystyle \oint _{C}dF=0.}

In manchen Fällen kann ein inexaktes Differential durch Multiplikation mit einem integrierenden Faktor in ein exaktes Differential überführt werden, beispielsweise gilt für die Entropie dS=δQ/T{\displaystyle dS=\delta Q/T} wobei der integrierende Faktor somit 1/T{\displaystyle 1/T} (die inverse absolute Temperatur) ist. Ein anderes Beispiel ist δW/p=−dV{\displaystyle \delta W/p=-dV} (mit Druck p{\displaystyle p}, Volumen V{\displaystyle V} und (wegabhängiger) Arbeit W{\displaystyle W})

Siehe auch

  • Thermodynamischer Kreisprozess

Literatur

  • Eric W. Weisstein: Inexact Differential. In: MathWorld (englisch).

Autor: www.NiNa.Az

Veröffentlichungsdatum: 15 Jul 2025 / 16:43

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Ein inexaktes Differential auch unvollstandiges Differential ist ein Differential welches kein vollstandiges Differential ist Mathematisch genauer ausgedruckt handelt es sich um eine Differentialform der Stufe 1 die nicht das totale Differential einer Funktion ist Inexakte Differentiale werden haufig so notiert als handle es sich um das Differential einer Funktion jedoch mit einem d displaystyle delta statt einem d displaystyle mathrm d Beispielsweise ist df g x y dx h x y dy displaystyle delta f g x y mathrm d x h x y mathrm d y ein inexaktes Differential falls g y h x displaystyle tfrac partial g partial y neq tfrac partial h partial x da dann die Integrabilitatsbedingung nicht erfullt ist D h es gibt zu df displaystyle delta f keine Funktion f displaystyle f In der Thermodynamik haben Prozessgrossen z B die Warme Q displaystyle Q die ein System mit seiner Umgebung austauscht inexakte Differentiale dQ displaystyle delta Q Denn Q displaystyle Q ist keine Funktion des Zustands sondern hangt ab von der Prozessfuhrung siehe Wegintegral daher ist das geschlossene Wegintegral typischerweise CdQ QC 0 displaystyle oint C delta Q Q C neq 0 im Gegensatz zu einem geschlossenen Wegintegral einer Zustandsvariable CdF 0 displaystyle oint C dF 0 In manchen Fallen kann ein inexaktes Differential durch Multiplikation mit einem integrierenden Faktor in ein exaktes Differential uberfuhrt werden beispielsweise gilt fur die Entropie dS dQ T displaystyle dS delta Q T wobei der integrierende Faktor somit 1 T displaystyle 1 T die inverse absolute Temperatur ist Ein anderes Beispiel ist dW p dV displaystyle delta W p dV mit Druck p displaystyle p Volumen V displaystyle V und wegabhangiger Arbeit W displaystyle W Siehe auchThermodynamischer KreisprozessLiteraturEric W Weisstein Inexact Differential In MathWorld englisch

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