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Das Begriffspaar konkav und konvex beschreibt die Gestalt von Phänomenen Dabei bedeutet konkav von lateinisch concavus g
Konkave Fläche
Das Begriffspaar konkav und konvex beschreibt die Gestalt von Phänomenen. Dabei bedeutet konkav (von lateinisch concavus ‚gewölbt‘) „nach innen gewölbt“ und konvex (von lateinisch convexus ‚nach oben oder unten gewölbt‘) „nach außen gewölbt“.
Eine Gestalt, die weder konvex noch konkav ist, nennt man eben (plan) oder flach. Manche Formen vereinen sowohl konvexe als auch konkave Elemente miteinander. Oberflächen können bspw. in eine Richtung konvex und in eine andere konkav sein; dann bezeichnet man sie auch als sattelförmig, konkav-konvex oder konvex-konkav.
Definition
Die Bezeichnung einer Gestalt als konvex folgt der mathematischen Definition einer konvexen Menge, in dem Sinn, dass bei einer konvexen Gestalt alle Bestandteile der kürzesten Verbindung zwischen zwei beliebigen Teilen der Gestalt auch Teil der Gestalt sind.
Eine Gestalt bezeichnet man dann als konkav, wenn sie diese Bedingungen nicht erfüllt, also wenn es kürzeste Verbindungen zwischen zwei Teilen der Gestalt gibt, deren Bestandteile nicht selbst Teil der Gestalt sind.
Die Bezeichnung der Gestalt einer Oberfläche als konkav oder konvex ist abhängig davon, wie „innen“ und „außen“ definiert sind. Im Allgemeinen bezeichnet man eine Teiloberfläche als konkav, wenn sie durch Wegnahme eines konvexen Körpers entstanden ist.
Bspw. nimmt eine Luftblase im Wasser – gemäß der im Folgenden gegebenen Definition – eine konvexe Gestalt an. Die Grenzfläche zum Wasser würde man also auch als „konvex“ beschreiben. Bei der Betrachtung eines Lichtstrahls, der durch die Luftblase dringt, stünde aber die Oberfläche des Wassers – als das Medium mit größerer optischer Dichte – im Vordergrund und man würde dieselbe Oberfläche als „konkav“ bezeichnen, da sie zerstreuend auf den Lichtstrahl wirkt.
Ebene Geometrie
In der zweidimensionalen, ebenen, Geometrie spricht man von konvexen und konkaven Flächen und von konvexen oder konkaven Randteilen oder Begrenzungen einer Fläche. Gerade Randteile können zusätzlich bei der Begrenzung von konvexen oder konkaven Flächen vorkommen. Die Klassifikation eines Randteils einer Fläche als konvex oder konkav hängt davon ab, welche Seite des Rands man als die zu Grunde liegende Fläche definiert.
Konvexe Flächen haben keine konkaven Randteile. Die Begrenzung einer konkaven Flächen lässt sich aus konkaven Randteilen zusammensetzen. Flächen mit Löchern werden so bezeichnet, als wenn die Löcher Bestandteil der Fläche wären.
Räumliche Geometrie
in der räumlichen Geometrie spricht man von konvexen Körpern und konvexen oder konkaven (Ober-)flächenteilen von Körpern. Wie analog in der ebenen Geometrie haben konvexe Körper keine konkaven Teiloberflächen.
Beispiele
- Das Kuppeldach eines Gebäudes ist eine konvexe und seine Unterseite eine konkave Fläche (beide sphärisch).
- Der Untergurt eines Fischbauchträgers hat eine konvexe Außenfläche (zylindrisch; den i. d. R. als Fachwerk gestalteten Träger als Vollkörper gedacht).
- Kennzeichen einer Hohlkehle ist ihre konkave Oberfläche (zylindrisch bei gerader Kehle).
Bedeutung in Fachdisziplinen
Bautechnik
Die Textur von Oberflächen wird als konvex bezeichnet, wenn sie „Bergen mit Tälern“ entspricht; entspricht sie „Plateaus mit Schluchten“, wird sie als konkav bezeichnet.
Gestalt- und Wahrnehmungspsychologie
Konvexe Formen werden in der Regel als geschlossene Formen oder vordergründige Figuren interpretiert, während konkave Formen dem Hintergrund zugeordnet werden. Dieses Phänomen wird bei Vexierbildern genutzt.
Kunst
In der Bildhauerei wird das Begriffspaar für die Form von Elementen einer Skulptur oder Plastik verwendet. Bspw. haben Profile einen konvexen oder konkaven Querschnitt, oder an einem Werk gibt es konvexe Wölbungen oder konkave Kehlungen oder Dellen.
Mathematik
Differentialgeometrie
In der Differentialgeometrie heißt eine Fläche dann konvex, wenn in jedem ihrer Punkte eine Umgebung existiert, für die alle Punkte der Umgebung auf einer Seite der Tangentialebene liegen.
Funktionentheorie
In der Funktionentheorie unterscheidet man außerdem konvexe und konkave Funktionen. In der mehrdimensionalen reellen Analysis werden Funktionen anhand der Definitheit der Hesse-Matrix als konvex oder konkav klassifiziert.
Mengenlehre und Geometrie
Konvexe Mengen, konvexe Körper und konvexe Flächen sind in der Mathematik für beliebig-dimensionale euklidische Räume definiert.
Optimierungsverfahren
In der theoretischen Informatik und numerischen Mathematik werden bestimmte Verfahren als konvexe Optimierung bezeichnet.
Topologie und Geometrie
In der Topologie ist ein konvexer Kern eine bestimmte konvexe Teilmenge einer riemannschen Mannigfaltigkeit.
Physik
Oberflächenphysik
In der Oberflächenphysik nutzt man die Bezeichnung zur Beschreibung der Oberfläche eines Mediums mit Oberflächenspannung, wie bspw. einer Flüssigkeit. Flüssigkeiten, die ihren Behälter benetzen bilden im Allgemeinen eine konkave Oberfläche aus; andere eine konvexe Oberflächen.
Optik
Konvexe und konkave Linsen
Optischen Linsen bezeichnet gemäß ihrer optisch wirksamen Oberflächen als (bi-)konvex, plan-konvex, konkav-konvex, konvex-konkav, plan-konkav oder (bi-)konkav. Dabei werden grundsätzlich Sammellinsen als ...-konvexe Linsen und Zerstreuungslinsen als ...-konkave Linsen bezeichnet. Die nicht optisch wirksamen Oberflächen wirken sich nicht auf die Bezeichnung aus.
Konvexe und konkave Spiegel
Optische Spiegel bezeichnet man ebenfalls gemäß ihrer optisch wirksamen Oberflächen entweder als Konvexspiegel oder bei einer konkaven Form auch als Hohlspiegel.
Erläuterung
Liegt die Flächenrandverbindung im optisch dichteren Medium (siehe Bild), so handelt es sich um eine konvexe Linse. Hingegen liegt die
bei einer konkaven Linse in der optisch dünneren Materie, also außerhalb des
Siehe auch
- Konvexität (Finanzmathematik)
Weblinks
Einzelnachweise
- konvex. In: duden.de. Duden Verlag, abgerufen am 11. November 2022.
- konkav. In: duden.de. Duden Verlag, abgerufen am 11. November 2022.
- Gestalterische Mittel Kunst. Abgerufen am 1. Januar 2024.
- Helmut Eifert: Strassenverkehrslärm: Erkenntnisse und Minderungsmöglichkeiten. In: update. Januar 2006, abgerufen am 1. Januar 2024.
- Thomas Krefeld: Gestaltpsychologie und aktuelle Wahrnehmungspsychologie. Universität München, 14. November 2016, abgerufen am 1. Januar 2024.|
- M. Lappe: Gestaltpsychologie. Westfälische-Wilhelms-Universität Münster, abgerufen am 1. Januar 2024.
- R. Walden, W. Vortisch, H. Huck, U. Simon, B. Wegner, R. Roitzsch, W. Wendland: Beweismethoden der Differentialgeometrie im Großen. Springer, Berlin Heidelberg 2006, ISBN 3-540-46990-7, §3 Spezielle Flächenklassen, S. 26 (Erstausgabe: 1973).
- D. Jungnickel: Konvexe Funktionen. In: Optimierungsmethoden. Springer-Lehrbuch. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2015, doi:10.1007/978-3-642-54821-5_5.
- Horst Kuchling: Taschenbuch der Physik. Hrsg.: VEB Fachbuchverlag Leipzig. 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun 1982, ISBN 3-87144-097-3, 25.4.1 Linsenarten, S. 349.
Autor: www.NiNa.Az
Veröffentlichungsdatum:
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Das Begriffspaar konkav und konvex beschreibt die Gestalt von Phanomenen Dabei bedeutet konkav von lateinisch concavus gewolbt nach innen gewolbt und konvex von lateinisch convexus nach oben oder unten gewolbt nach aussen gewolbt Beispiel Zylinderlinsen A Korper mit einer einachsig konvex gekrummten Oberflache plan konvex B Korper mit einer einachsig konkav gekrummten Oberflache plan konkav Eine Gestalt die weder konvex noch konkav ist nennt man eben plan oder flach Manche Formen vereinen sowohl konvexe als auch konkave Elemente miteinander Oberflachen konnen bspw in eine Richtung konvex und in eine andere konkav sein dann bezeichnet man sie auch als sattelformig konkav konvex oder konvex konkav DefinitionDie Bezeichnung einer Gestalt als konvex folgt der mathematischen Definition einer konvexen Menge in dem Sinn dass bei einer konvexen Gestalt alle Bestandteile der kurzesten Verbindung zwischen zwei beliebigen Teilen der Gestalt auch Teil der Gestalt sind Eine Gestalt bezeichnet man dann als konkav wenn sie diese Bedingungen nicht erfullt also wenn es kurzeste Verbindungen zwischen zwei Teilen der Gestalt gibt deren Bestandteile nicht selbst Teil der Gestalt sind Die Bezeichnung der Gestalt einer Oberflache als konkav oder konvex ist abhangig davon wie innen und aussen definiert sind Im Allgemeinen bezeichnet man eine Teiloberflache als konkav wenn sie durch Wegnahme eines konvexen Korpers entstanden ist Bspw nimmt eine Luftblase im Wasser gemass der im Folgenden gegebenen Definition eine konvexe Gestalt an Die Grenzflache zum Wasser wurde man also auch als konvex beschreiben Bei der Betrachtung eines Lichtstrahls der durch die Luftblase dringt stunde aber die Oberflache des Wassers als das Medium mit grosserer optischer Dichte im Vordergrund und man wurde dieselbe Oberflache als konkav bezeichnen da sie zerstreuend auf den Lichtstrahl wirkt Ebene Geometrie In der zweidimensionalen ebenen Geometrie spricht man von konvexen und konkaven Flachen und von konvexen oder konkaven Randteilen oder Begrenzungen einer Flache Gerade Randteile konnen zusatzlich bei der Begrenzung von konvexen oder konkaven Flachen vorkommen Die Klassifikation eines Randteils einer Flache als konvex oder konkav hangt davon ab welche Seite des Rands man als die zu Grunde liegende Flache definiert Konvexe Flachen haben keine konkaven Randteile Die Begrenzung einer konkaven Flachen lasst sich aus konkaven Randteilen zusammensetzen Flachen mit Lochern werden so bezeichnet als wenn die Locher Bestandteil der Flache waren Raumliche Geometrie Der Ikosaederstumpf Fussballkorper ist ein konvexer Korper im dreidimensionalen Raum in der raumlichen Geometrie spricht man von konvexen Korpern und konvexen oder konkaven Ober flachenteilen von Korpern Wie analog in der ebenen Geometrie haben konvexe Korper keine konkaven Teiloberflachen Beispiele Das Kuppeldach eines Gebaudes ist eine konvexe und seine Unterseite eine konkave Flache beide spharisch Der Untergurt eines Fischbauchtragers hat eine konvexe Aussenflache zylindrisch den i d R als Fachwerk gestalteten Trager als Vollkorper gedacht Kennzeichen einer Hohlkehle ist ihre konkave Oberflache zylindrisch bei gerader Kehle Bedeutung in FachdisziplinenBautechnik Die Textur von Oberflachen wird als konvex bezeichnet wenn sie Bergen mit Talern entspricht entspricht sie Plateaus mit Schluchten wird sie als konkav bezeichnet Gestalt und Wahrnehmungspsychologie Hauptartikel Figur Grund Wahrnehmung Konvexe Formen werden in der Regel als geschlossene Formen oder vordergrundige Figuren interpretiert wahrend konkave Formen dem Hintergrund zugeordnet werden Dieses Phanomen wird bei Vexierbildern genutzt Kunst In der Bildhauerei wird das Begriffspaar fur die Form von Elementen einer Skulptur oder Plastik verwendet Bspw haben Profile einen konvexen oder konkaven Querschnitt oder an einem Werk gibt es konvexe Wolbungen oder konkave Kehlungen oder Dellen Mathematik Differentialgeometrie In der Differentialgeometrie heisst eine Flache dann konvex wenn in jedem ihrer Punkte eine Umgebung existiert fur die alle Punkte der Umgebung auf einer Seite der Tangentialebene liegen Funktionentheorie Hauptartikel Konvexe und konkave Funktionen In der Funktionentheorie unterscheidet man ausserdem konvexe und konkave Funktionen In der mehrdimensionalen reellen Analysis werden Funktionen anhand der Definitheit der Hesse Matrix als konvex oder konkav klassifiziert Mengenlehre und Geometrie Konvexe Mengen konvexe Korper und konvexe Flachen sind in der Mathematik fur beliebig dimensionale euklidische Raume definiert Optimierungsverfahren Hauptartikel Konvexe Optimierung In der theoretischen Informatik und numerischen Mathematik werden bestimmte Verfahren als konvexe Optimierung bezeichnet Topologie und Geometrie Hauptartikel Konvexer Kern In der Topologie ist ein konvexer Kern eine bestimmte konvexe Teilmenge einer riemannschen Mannigfaltigkeit Physik Oberflachenphysik Hauptartikel Meniskus Hydrostatik In der Oberflachenphysik nutzt man die Bezeichnung zur Beschreibung der Oberflache eines Mediums mit Oberflachenspannung wie bspw einer Flussigkeit Flussigkeiten die ihren Behalter benetzen bilden im Allgemeinen eine konkave Oberflache aus andere eine konvexe Oberflachen Optik Konvexe und konkave Linsen Hauptartikel Linse Optik Optischen Linsen bezeichnet gemass ihrer optisch wirksamen Oberflachen als bi konvex plan konvex konkav konvex konvex konkav plan konkav oder bi konkav Dabei werden grundsatzlich Sammellinsen als konvexe Linsen und Zerstreuungslinsen als konkave Linsen bezeichnet Die nicht optisch wirksamen Oberflachen wirken sich nicht auf die Bezeichnung aus Konvexe und konkave Spiegel Optische Spiegel bezeichnet man ebenfalls gemass ihrer optisch wirksamen Oberflachen entweder als Konvexspiegel oder bei einer konkaven Form auch als Hohlspiegel Erlauterung Konvexe Konkave Linsenkonvex konkavplanFlachenrandverbindungoptisch dichteres Medium Liegt die Flachenrandverbindung im optisch dichteren Medium siehe Bild so handelt es sich um eine konvexe Linse Hingegen liegt dieFlachenrandverbindung bei einer konkaven Linse in der optisch dunneren Materie also ausserhalb desoptisch dichteren Mediums Hauptartikel BrechungsindexSiehe auchKonvexitat Finanzmathematik WeblinksWiktionary konkav Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Wiktionary konvex Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenEinzelnachweisekonvex In duden de Duden Verlag abgerufen am 11 November 2022 konkav In duden de Duden Verlag abgerufen am 11 November 2022 Gestalterische Mittel Kunst Abgerufen am 1 Januar 2024 Helmut Eifert Strassenverkehrslarm Erkenntnisse und Minderungsmoglichkeiten In update Januar 2006 abgerufen am 1 Januar 2024 Thomas Krefeld Gestaltpsychologie und aktuelle Wahrnehmungspsychologie Universitat Munchen 14 November 2016 abgerufen am 1 Januar 2024 M Lappe Gestaltpsychologie Westfalische Wilhelms Universitat Munster abgerufen am 1 Januar 2024 R Walden W Vortisch H Huck U Simon B Wegner R Roitzsch W Wendland Beweismethoden der Differentialgeometrie im Grossen Springer Berlin Heidelberg 2006 ISBN 3 540 46990 7 3 Spezielle Flachenklassen S 26 Erstausgabe 1973 D Jungnickel Konvexe Funktionen In Optimierungsmethoden Springer Lehrbuch Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2015 doi 10 1007 978 3 642 54821 5 5 Horst Kuchling Taschenbuch der Physik Hrsg VEB Fachbuchverlag Leipzig 4 Auflage Harri Deutsch Thun 1982 ISBN 3 87144 097 3 25 4 1 Linsenarten S 349