Eine gleichmäßig stetige Funktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis Gleichmäßige Stetigkeit
Gleichmäßige Stetigkeit

Eine gleichmäßig stetige Funktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion ist eine stärkere Bedingung als die der Stetigkeit einer Funktion. Bei einer gleichmäßig stetigen Funktion ist der Abstand beliebiger Paare von Funktionswerten kleiner als ein beliebig vorgegebener Maximalfehler, solange die Argumente hinreichend nah beieinanderliegen.
Definition
Sei eine Teilmenge von .
Eine Abbildung heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn
- .
Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die gewöhnliche Stetigkeit, wenn sie in jedem Punkt von gegeben ist, auch als punktweise Stetigkeit.
Die Besonderheit der gleichmäßigen Stetigkeit besteht darin, dass nur von und nicht, wie bei der punktweisen Stetigkeit, noch zusätzlich von der Stelle abhängt.
Anschaulich bedeutet das: Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite finden, sodass wenn man das Rechteck mit den Seiten und geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet. (Bsp.: Wurzelfunktion auf .)
Beispiele
Betrachte die Funktion
- mit .
Diese ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig: Je weiter rechts man in einem der -Streifen zwei Punkte wählt, desto größer kann der Abstand der beiden Funktionswerte werden und somit unser gewähltes übersteigen. Dies entspricht nicht der Definition gleichmäßiger Stetigkeit: Der Abstand der Funktionswerte muss für jede Wahl zweier solcher Stellen kleiner als ein vorgegebenes sein. Das ist bei dieser Funktion nicht der Fall.
Weiterhin gilt: Jede Einschränkung von auf ein kompaktes Intervall ist gleichmäßig stetig. Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Heine.
Ein anderes Beispiel ist die stetige Funktion
- mit ,
die gleichmäßig stetig, sogar hölderstetig, aber nicht lipschitzstetig ist.
Verallgemeinerung: metrische Räume
Allgemeiner wird auch folgende Definition verwendet:
Seien , metrische Räume. Eine Abbildung heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn
- .
Verallgemeinerung: uniforme Räume
Noch allgemeiner heißt in der Topologie eine Funktion zwischen den uniformen Räumen und gleichmäßig stetig, wenn das Urbild jeder Nachbarschaft wieder eine Nachbarschaft ist, wenn also .
Eigenschaften
Jede gleichmäßig stetige Funktion ist stetig. Die Umkehrung gilt nicht: Es gibt stetige Funktionen wie die Quadratfunktion, die nicht gleichmäßig stetig sind. Für gewisse Definitionsbereiche fallen Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit wiederum zusammen. Der Satz von Heine besagt nämlich: Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist gleichmäßig stetig.
Ist eine Cauchy-Folge im Raum und ist gleichmäßig stetig, so ist auch eine Cauchy-Folge in . Dies gilt im Allgemeinen nicht für Funktionen, die nur stetig sind, wie das Beispiel , und zeigt.
Unmittelbar daraus, dass Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen abbildet, folgt nun: Ist gleichmäßig stetig auf einer Menge und ist vollständig, dann ist (sogar gleichmäßig) stetig fortsetzbar auf den Abschluss .
Im lässt sich anschaulich die Aussage treffen, dass eine gleichmäßig stetige Funktion (mit Werten in ) keine Polstellen besitzen kann. Wie sollte sie auch, lässt sie sich doch – wie bereits dargestellt – stetig auf den Abschluss ihres Definitionsbereiches fortsetzen. Eine solche stetige Fortsetzung ist in einer Polstelle aber eben nicht möglich.
Spezielle Formen der gleichmäßigen Stetigkeit sind Hölder- und Lipschitz-Stetigkeit.
Visualisierung
Bei einer gleichmäßig stetigen Funktion kann für jeden vorgegebenen Maximalfehler ein gefunden werden, so dass sich alle Paare von Funktionswerten und um maximal unterscheiden, solange die Abstände von und kleiner als sind. Dementsprechend kann um jeden Punkt des Graphen ein Rechteck mit Höhe und Breite eingezeichnet werden, bei dem der Graph komplett im Inneren des Rechtecks verläuft, so dass keine Funktionswerte direkt ober- beziehungsweise unterhalb des Rechtecks liegen. Bei nicht gleichmäßig stetigen Funktionen ist dies nicht möglich. Zum Teil verläuft zwar der Graph im Inneren des Rechtecks – aber nicht überall.
- Bei gleichmäßig stetigen Funktion kann für jedes um jeden Punkt ein Rechteck mit Höhe und Breite eingezeichnet werden, bei dem der Graph komplett im Inneren des Rechtecks verläuft.
- Bei nicht gleichmäßig stetigen Funktion gibt es Werte bei denen es unmöglich ist, ein zu finden, so dass der Graph überall im Inneren des --Rechtecks verläuft. Wenn man das Rechteck entlang des Graphen verschiebt, so gibt es Stellen, wo Funktionswerte direkt ober- beziehungsweise unterhalb liegen.
Siehe auch
- Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit
Weblinks
Quellen
- Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.
- Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.
- Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.
Autor: www.NiNa.Az
Veröffentlichungsdatum:
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Eine gleichmassig stetige Funktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis Gleichmassige Stetigkeit einer Funktion ist eine starkere Bedingung als die der Stetigkeit einer Funktion Bei einer gleichmassig stetigen Funktion ist der Abstand beliebiger Paare von Funktionswerten kleiner als ein beliebig vorgegebener Maximalfehler solange die Argumente hinreichend nah beieinanderliegen Bei gleichmassig stetigen Funktionen kann um jeden Punkt des Graphen ein Rechteck mit Hohe 2e displaystyle 2 varepsilon und Breite 2d displaystyle 2 delta eingezeichnet werden ohne dass der Graph direkt ober unterhalb des Rechtecks liegt Die Funktion g x x displaystyle g x sqrt x ist gleichmassig stetig Hier verlauft der Graph nur innerhalb des Rechtecks Bei der Funktion f x 1x displaystyle f x tfrac 1 x ist dies aber nicht der Fall Bei kleinen Argumenten in der Nahe der Null verandert sich die Funktion so stark dass Funktionswerte direkt ober bzw unterhalb des Rechtecks liegen DefinitionSei D displaystyle D eine Teilmenge von R displaystyle mathbb R Eine Abbildung f D R displaystyle f colon D rightarrow mathbb R heisst gleichmassig stetig genau dann wenn e gt 0 d gt 0 x x0 D x x0 lt d f x f x0 lt e displaystyle forall varepsilon gt 0 exists delta gt 0 forall x x 0 in D colon x x 0 lt delta Rightarrow f x f x 0 lt varepsilon Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die gewohnliche Stetigkeit wenn sie in jedem Punkt von D displaystyle D gegeben ist auch als punktweise Stetigkeit Die Besonderheit der gleichmassigen Stetigkeit besteht darin dass d displaystyle delta nur von e displaystyle varepsilon und nicht wie bei der punktweisen Stetigkeit noch zusatzlich von der Stelle x0 displaystyle x 0 abhangt Anschaulich bedeutet das Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite e displaystyle varepsilon kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite d displaystyle delta finden sodass wenn man das Rechteck mit den Seiten e displaystyle varepsilon und d displaystyle delta geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangfuhrt dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet Bsp Wurzelfunktion auf 0 displaystyle 0 infty Beispiele Betrachte die Funktion f R R displaystyle f colon mathbb R rightarrow mathbb R mit f x x2 displaystyle f x x 2 Diese ist stetig aber nicht gleichmassig stetig Je weiter rechts man in einem der d displaystyle delta Streifen zwei Punkte wahlt desto grosser kann der Abstand der beiden Funktionswerte werden und somit unser gewahltes e displaystyle varepsilon ubersteigen Dies entspricht nicht der Definition gleichmassiger Stetigkeit Der Abstand der Funktionswerte muss fur jede Wahl zweier solcher Stellen kleiner als ein vorgegebenes e displaystyle varepsilon sein Das ist bei dieser Funktion nicht der Fall Weiterhin gilt Jede Einschrankung von f displaystyle f auf ein kompaktes Intervall ist gleichmassig stetig Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Heine Ein anderes Beispiel ist die stetige Funktion f R R displaystyle f colon mathbb R rightarrow mathbb R mit f x x displaystyle f x sqrt x die gleichmassig stetig sogar holderstetig aber nicht lipschitzstetig ist Verallgemeinerung metrische Raume Allgemeiner wird auch folgende Definition verwendet Seien X dX displaystyle X d X Y dY displaystyle Y d Y metrische Raume Eine Abbildung f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y heisst gleichmassig stetig genau dann wenn e gt 0 d gt 0 x x0 X dX x x0 lt d dY f x f x0 lt e displaystyle forall varepsilon gt 0 exists delta gt 0 forall x x 0 in X colon d X x x 0 lt delta Rightarrow d Y f x f x 0 lt varepsilon Verallgemeinerung uniforme Raume Noch allgemeiner heisst in der Topologie eine Funktion f X Y displaystyle f colon X to Y zwischen den uniformen Raumen X UX displaystyle X mathcal U X und Y UY displaystyle Y mathcal U Y gleichmassig stetig wenn das Urbild jeder Nachbarschaft wieder eine Nachbarschaft ist wenn also f f 1 UY UX displaystyle f times f 1 mathcal U Y subset mathcal U X EigenschaftenJede gleichmassig stetige Funktion ist stetig Die Umkehrung gilt nicht Es gibt stetige Funktionen wie die Quadratfunktion die nicht gleichmassig stetig sind Fur gewisse Definitionsbereiche fallen Stetigkeit und gleichmassige Stetigkeit wiederum zusammen Der Satz von Heine besagt namlich Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist gleichmassig stetig Ist xn n N displaystyle x n n in mathbb N eine Cauchy Folge im Raum X displaystyle X und ist f X Y displaystyle f colon X to Y gleichmassig stetig so ist auch f xn n N displaystyle f x n n in mathbb N eine Cauchy Folge in Y displaystyle Y Dies gilt im Allgemeinen nicht fur Funktionen die nur stetig sind wie das Beispiel X 0 1 displaystyle X 0 1 f x 1x displaystyle f x tfrac 1 x und xn 1n displaystyle x n tfrac 1 n zeigt Unmittelbar daraus dass f displaystyle f Cauchy Folgen auf Cauchy Folgen abbildet folgt nun Ist f X Y displaystyle f colon X to Y gleichmassig stetig auf einer Menge M X displaystyle M subset X und ist Y displaystyle Y vollstandig dann ist f displaystyle f sogar gleichmassig stetig fortsetzbar auf den Abschluss M displaystyle overline M Im Rn displaystyle mathbb R n lasst sich anschaulich die Aussage treffen dass eine gleichmassig stetige Funktion mit Werten in R displaystyle mathbb R keine Polstellen besitzen kann Wie sollte sie auch lasst sie sich doch wie bereits dargestellt stetig auf den Abschluss ihres Definitionsbereiches fortsetzen Eine solche stetige Fortsetzung ist in einer Polstelle aber eben nicht moglich Spezielle Formen der gleichmassigen Stetigkeit sind Holder und Lipschitz Stetigkeit VisualisierungBei einer gleichmassig stetigen Funktion kann fur jeden vorgegebenen Maximalfehler e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 ein d gt 0 displaystyle delta gt 0 gefunden werden so dass sich alle Paare von Funktionswerten f x displaystyle f x und f y displaystyle f y um maximal e displaystyle varepsilon unterscheiden solange die Abstande von x displaystyle x und y displaystyle y kleiner als d displaystyle delta sind Dementsprechend kann um jeden Punkt x f x displaystyle x f x des Graphen ein Rechteck mit Hohe 2e displaystyle 2 varepsilon und Breite 2d displaystyle 2 delta eingezeichnet werden bei dem der Graph komplett im Inneren des Rechtecks verlauft so dass keine Funktionswerte direkt ober beziehungsweise unterhalb des Rechtecks liegen Bei nicht gleichmassig stetigen Funktionen ist dies nicht moglich Zum Teil verlauft zwar der Graph im Inneren des Rechtecks aber nicht uberall Bei gleichmassig stetigen Funktion kann fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 um jeden Punkt ein Rechteck mit Hohe 2e displaystyle 2 varepsilon und Breite 2d displaystyle 2 delta eingezeichnet werden bei dem der Graph komplett im Inneren des Rechtecks verlauft Bei nicht gleichmassig stetigen Funktion gibt es Werte e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 bei denen es unmoglich ist ein d gt 0 displaystyle delta gt 0 zu finden so dass der Graph uberall im Inneren des 2e displaystyle 2 varepsilon 2d displaystyle 2 delta Rechtecks verlauft Wenn man das Rechteck entlang des Graphen verschiebt so gibt es Stellen wo Funktionswerte direkt ober beziehungsweise unterhalb liegen Siehe auchGleichmassige gleichgradige StetigkeitWeblinksWikibooks Mathe fur Nicht Freaks Gleichmassige Stetigkeit Lern und LehrmaterialienQuellenKonrad Konigsberger Analysis 1 Springer Verlag Berlin u a 2004 ISBN 3 540 41282 4 Konrad Konigsberger Analysis 2 Springer Verlag Berlin Heidelberg 2000 ISBN 3 540 43580 8 Otto Forster Analysis Band 1 Differential und Integralrechnung einer Veranderlichen Vieweg Verlag 8 Aufl 2006 ISBN 3 528 67224 2