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Die gaußschen Zahlen nach Carl Friedrich Gauß englisch Gaussian integers sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen i

Gaußsche Zahl

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Die gaußschen Zahlen (nach Carl Friedrich Gauß; englisch Gaussian integers) sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen in den komplexen Zahlen. Jede gaußsche Zahl liegt auf einem ganzzahligen Koordinatenpunkt der komplexen Ebene. Die gaußschen (ganzen) Zahlen bilden den Ganzheitsring des quadratischen Zahlkörpers Q(i){\displaystyle \mathbb {Q} (\mathrm {i} )}, des Körpers der gaußschen rationalen Zahlen; englisch Gaussian rationals. Außerdem bilden die gaußschen Zahlen einen euklidischen Ring und damit insbesondere einen faktoriellen Ring.

Eine etwas kompliziertere Verallgemeinerung ganzer Zahlen, die ebenfalls in die komplexe Ebene eingebettet werden können, sind die Eisenstein-Zahlen.

Geschichtlicher Hintergrund

Gaußsche Zahlen wurden von Gauß in der Abhandlung Theorie der biquadratischen Reste. Zweite Abhandlung (1832, in Latein) erstmals eingeführt.

Das quadratische Reziprozitätsgesetz (das Gauß 1796 zum ersten Mal beweisen konnte) verknüpft die Lösbarkeit der Kongruenz x2≡q(modp){\displaystyle x^{2}\equiv q{\pmod {p}}} mit der Lösbarkeit von x2≡p(modq){\displaystyle x^{2}\equiv p{\pmod {q}}}. Ebenso verknüpft das kubische Reziprozitätsgesetz die Lösbarkeit der Kongruenz x3≡q(modp){\displaystyle x^{3}\equiv q{\pmod {p}}} mit der von x3≡p(modq){\displaystyle x^{3}\equiv p{\pmod {q}}} und das biquadratische Reziprozitätsgesetz ist die Verknüpfung von x4≡q(modp){\displaystyle x^{4}\equiv q{\pmod {p}}} mit x4≡p(modq){\displaystyle x^{4}\equiv p{\pmod {q}}}.

Gauß fand heraus, dass sich das biquadratische Reziprozitätsgesetz und die Ergänzungen dazu wesentlich einfacher als Aussagen über „ganze komplexe Zahlen“ (d. h. gaußsche Zahlen) formulieren und beweisen lassen. In einer Fußnote (S. 541) erwähnt er, dass die Eisenstein-Zahlen der naturgemäße Bereich für Theoreme über kubische Reziprozität sind und ähnliche Erweiterungen der ganzen Zahlen die geeigneten Bereiche zur Untersuchung von höheren Potenzen. Diese Abhandlung enthält nicht nur die Einführung gaußscher Zahlen, sondern auch der Begriffe Norm, Einheit, primär und Assoziierte, die heute in der algebraischen Zahlentheorie Standard sind. Siehe dazu auch die Festschrift zum Zahlbericht.

Definition

Eine gaußsche Zahl g{\displaystyle g} ist durch

g=a+bi{\displaystyle g=a+b{\mathrm {i} }}

gegeben, wobei a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b} ganze Zahlen sind.

Der Ring der gaußschen Zahlen heißt auch Gaußscher Zahlring und wird mit Z[i]{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]} bezeichnet. Er entsteht also aus Z{\displaystyle \mathbb {Z} } durch Adjunktion der imaginären Einheit i{\displaystyle \mathrm {i} }.

Die gaußschen Zahlen sind die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten in der gaußschen Zahlenebene. Sie bilden ein zweidimensionales Gitter.

Primelemente

Wie in jedem Ring kann man – analog zu Z{\displaystyle \mathbb {Z} } – auch in Z[i]{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]} Zahlentheorie betreiben. Insbesondere lassen sich Primelemente als Verallgemeinerung des Begriffes Primzahl definieren. Die Eindeutigkeit der Primfaktordarstellung gilt dann auch für die gaußschen Zahlen. Die Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen Z[i]{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]} sind bis auf die Einheitsfaktoren ±1,±i{\displaystyle \pm 1,\pm \mathrm {i} } genau die Primzahlen der Form 4k+3, k∈N0,{\displaystyle 4k+3,\ k\in \mathbb {N} _{0},} das Element 1+i{\displaystyle 1+\mathrm {i} } und die Elemente a+b⋅i, a,b∈Z{\displaystyle a+b\cdot \mathrm {i} ,\ a,b\in \mathbb {Z} }, für die a2+b2=p{\displaystyle a^{2}+b^{2}=p} eine Primzahl ist, die man als p=4k+1, k∈Z{\displaystyle p=4k+1,\ k\in \mathbb {Z} } schreiben kann.

Die Primelemente im Ring der gaußschen Zahlen haben einen engen Bezug zu den gewöhnlichen Primzahlen. Sie zerfallen in drei Klassen (jeweils bis auf Assoziiertheit, d. h. bis auf Multiplikation mit ±1{\displaystyle \pm 1} und ±i{\displaystyle \pm \mathrm {i} }, den Einheiten des Ringes der gaußschen Zahlen):

Der doppelte Primfaktor von 2:

Die Zahl 2 kann als Produkt der Primelemente 1+i{\displaystyle 1+\mathrm {i} } und 1−i{\displaystyle 1-\mathrm {i} } geschrieben werden, die sich aber wegen 1+i=i⋅(1−i){\displaystyle 1+\mathrm {i} =\mathrm {i} \cdot (1-\mathrm {i} )} nur um eine Einheit unterscheiden. Also gilt (1+i)(1−i)=i3⋅(1+i)2{\displaystyle (1+\mathrm {i} )(1-\mathrm {i} )=\mathrm {i} ^{3}\cdot (1+\mathrm {i} )^{2}} und die – bis auf Assoziiertheit der Faktoren eindeutige – Primfaktorzerlegung

2=i3⋅(1+i)2{\displaystyle 2=\mathrm {i} ^{3}\cdot (1+\mathrm {i} )^{2}}

zeigt, dass 2 zum Quadrat des Primelements 1+i{\displaystyle 1+\mathrm {i} } assoziiert ist (2 ist verzweigt).

Faktoren von Primzahlen der Form 4k + 1:

Ist p{\displaystyle p} eine Primzahl der Form 4k+1{\displaystyle 4k+1} mit einer natürlichen Zahl k{\displaystyle k}, so lässt sich p{\displaystyle p} auf im Wesentlichen eindeutige Weise als Summe zweier Quadratzahlen schreiben (siehe Zwei-Quadrate-Satz):

p=a2+b2{\displaystyle p=a^{2}+b^{2}} mit gewissen a,b∈Z{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }

Dann ist

p=(a+bi)(a−bi){\displaystyle p=(a+b\mathrm {i} )(a-b\mathrm {i} )}

die Primfaktorzerlegung von p{\displaystyle p}, p{\displaystyle p} selbst ist also kein Primelement im Ring der gaußschen Zahlen, sondern Produkt zweier konjugierter Primelemente (p{\displaystyle p} ist zerlegt). Beispielsweise ist 5=(2+i)(2−i){\displaystyle 5=(2+\mathrm {i} )(2-\mathrm {i} )} kein Primelement, aber 2+i{\displaystyle 2+\mathrm {i} } und 2−i{\displaystyle 2-\mathrm {i} } sind zwei Primelemente.

Primzahlen der Form 4k + 3:

Ist p{\displaystyle p} eine Primzahl der Form 4k+3{\displaystyle 4k+3} mit einer natürlichen Zahl k{\displaystyle k}, so ist p{\displaystyle p} auch im Ring der gaußschen Zahlen ein Primelement (p{\displaystyle p} bleibt prim, es ist träge).

Die drei Fälle beschreiben das Verhalten von Primelementen bei Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen zum Körper der Gaußschen Zahlen (entstanden durch Adjunktion der imaginären Einheit).

Primfaktorzerlegung

Eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Primfaktorzerlegung für eine beliebige gaußsche Zahl z≠0{\displaystyle z\neq 0} ergibt sich z. B., wenn man p1=1+i{\displaystyle p_{1}=1+\mathrm {i} } setzt und von den vier Assoziierten jedes ungeraden Primelements pm{\displaystyle p_{m}} das durch die Forderung pm≡1(mod2+2i){\displaystyle p_{m}\equiv 1{\pmod {2+2\mathrm {i} }}} (s. w. u. Kongruenzen und Restklassen) eindeutig bestimmte sog. primäre auswählt und diese nach ihrer Norm sortiert:

p2=−1+2i,p3=−1−2i,p4=−3,p5=+3+2i,p6=+3−2i,p7=+1+4i,p8=+1−4i,…,p15=−7,…{\displaystyle {\begin{aligned}&p_{2}=-1+2\mathrm {i} ,\quad p_{3}=-1-2\mathrm {i} ,\quad p_{4}=-3,\quad p_{5}=+3+2\mathrm {i} ,\quad \\&p_{6}=+3-2\mathrm {i} ,\quad p_{7}=+1+4\mathrm {i} ,\quad p_{8}=+1-4\mathrm {i} ,\;\dots ,\;p_{15}=-7,\dotsc \end{aligned}}}

(offensichtlich sind hierbei die natürlichen Primzahlen der Form 4k+3{\displaystyle 4k+3} immer mit negativem Vorzeichen zu versehen, da 4k+3≡3≡−1(mod2+2i){\displaystyle 4k+3\equiv 3\equiv -1{\pmod {2+2\mathrm {i} }}}). Die obige Definition erfüllt offensichtlich ein wichtiges Kriterium: Das Produkt beliebiger primärer Gaußscher Zahlen ist ebenfalls eine primäre Zahl. Damit erhält man

z=ik∏m∈Npmνm{\displaystyle z={\mathrm {i} }^{k}\prod _{m\in \mathbb {N} }p_{m}^{\nu _{m}}} mit k=0,…,3{\displaystyle k=0,\dotsc ,3} und νm≥0{\displaystyle \nu _{m}\geq 0} (darin gilt natürlich nur für endlich viele Exponenten νm>0{\displaystyle \nu _{m}>0}).

Eine andere, häufig benutzte Primfaktordarstellung ergibt sich, wenn man darin die überflüssigen Faktoren pk0=1{\displaystyle p_{k}^{0}=1} weglässt, und nur die Primteiler von z{\displaystyle z} berücksichtigt, d. h. alle pm{\displaystyle p_{m}} mit νm>0{\displaystyle \nu _{m}>0}. Dies seien die Zahlen qn∈{p1,…},n=1,…,r{\displaystyle q_{n}\in \{p_{1},\dots \},\;n=1,\dots ,r}. Damit lautet die Darstellung

z=ik∏n=1rqnμn{\displaystyle z={\mathrm {i} }^{k}\prod _{n=1}^{r}q_{n}^{\mu _{n}}} mit k=0,…,3{\displaystyle k=0,\dotsc ,3} und μn>0{\displaystyle \mu _{n}>0}

Euklidischer Algorithmus und größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Jede gaußsche Zahl g≠0{\displaystyle g\neq 0} hat vier Assoziierte ±g,±ig{\displaystyle \pm g,\pm \mathrm {i} g}, die durch Multiplikation mit den Einheiten gebildet werden und in allen vier Quadranten der komplexen Zahlenebene liegen.
Ein größter gemeinsamer Teiler (ggT) zweier gaußscher Zahlen a,b{\displaystyle a,b} ist definiert als gaußsche Zahl t{\displaystyle t} mit folgenden zwei Eigenschaften:

  1. t∣a{\displaystyle t\mid a} und t∣b,{\displaystyle t\mid b,\,} d. h.: t{\displaystyle t} ist ein gemeinsamer Teiler von a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b}.
  2. Aus s∣a{\displaystyle s\mid a} und s∣b{\displaystyle s\mid b} folgt s∣t,{\displaystyle s\mid t,\,} d. h.: Jeder gemeinsame Teiler von a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b} teilt auch t{\displaystyle t}.

Daraus folgt: Alle gaußschen Zahlen t{\displaystyle t} mit diesen Eigenschaften (bei gegebenem a,b{\displaystyle a,b}) sind assoziiert. Der ggT ist somit eine im Wesentlichen (bis auf Assoziierte) eindeutig bestimmte gaußsche Zahl mit der üblichen Schreibweise t=(a,b){\displaystyle t=(a,b)}.

Sofern die Primfaktorzerlegung von a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b} bekannt ist, also a=ik∏mpmνm,b=in∏mpmμm{\displaystyle a=i^{k}\prod _{m}p_{m}^{\nu _{m}},\,b=i^{n}\prod _{m}p_{m}^{\mu _{m}}}, ist der ggT natürlich sofort gegeben durch (a,b)=∏mpmλm{\displaystyle (a,b)=\prod _{m}p_{m}^{\lambda _{m}}} mit λm=min(νm,μm){\displaystyle \lambda _{m}=\mathrm {min} (\nu _{m},\mu _{m})}.

Andernfalls kann man den euklidischen Algorithmus benutzen: Zur Bestimmung des ggT zweier Zahlen z0,z1{\displaystyle z_{0},z_{1}} läuft er ähnlich ab wie für ganze Zahlen. Es gilt (z0,0)=z0{\displaystyle (z_{0},0)=z_{0}} für alle z0{\displaystyle z_{0}} (also insbesondere (0,0)=0{\displaystyle (0,0)=0}). Und für z1≠0{\displaystyle z_{1}\neq 0} gibt es ein Paar gaußscher Zahlen q1,z2{\displaystyle q_{1},z_{2}} mit

z0=q1z1+z2{\displaystyle z_{0}=q_{1}z_{1}+z_{2}} und |z2|<|z1|.{\displaystyle |z_{2}|<|z_{1}|.}

Man bestimmt dazu q1=m+ni{\displaystyle q_{1}=m+n\mathrm {i} } als diejenige gaußsche Zahl, die dem Bruch ξ:=z0z1{\displaystyle \xi :={\frac {z_{0}}{z_{1}}}} am nächsten liegt. Dafür gilt stets |m−Re⁡(ξ)|≤12{\displaystyle \left|m-\operatorname {Re} (\xi )\right|\leq {\frac {1}{2}}} und |n−Im⁡(ξ)|≤12{\displaystyle \left|n-\operatorname {Im} (\xi )\right|\leq {\frac {1}{2}}}, also d:=|q1−ξ|≤dmax=12{\displaystyle d:=\left|q_{1}-\xi \right|\leq d_{\text{max}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}} und folglich |z2|≤|z1|2{\displaystyle |z_{2}|\leq {\frac {|z_{1}|}{\sqrt {2}}}}.

Falls z2≠0{\displaystyle z_{2}\neq 0}, wird das fortgesetzt mit z1=q2z2+z3{\displaystyle z_{1}=q_{2}z_{2}+z_{3}} und |z3|<|z2|{\displaystyle |z_{3}|<|z_{2}|} usw. bis zn+1=0{\displaystyle z_{n+1}=0}. Dann ist zn{\displaystyle z_{n}} der gesuchte ggT: (z0,z1)=zn{\displaystyle (z_{0},z_{1})=z_{n}}.

Beispiel:
Gesucht sei der ggT der gaußschen Zahlen z0=5+i,z1=2{\displaystyle z_{0}=5+\mathrm {i} ,\;z_{1}=2}. Der Quotient ist z0z1=2,5+0,5i{\displaystyle {\frac {z_{0}}{z_{1}}}=2{,}5+0{,}5\mathrm {i} }. Für q1{\displaystyle q_{1}} kommen damit die vier gaußschen Zahlen 2,2+i,3,3+i{\displaystyle 2,2+\mathrm {i} ,3,3+\mathrm {i} } in Frage. Wir wählen z. B. q1=2{\displaystyle q_{1}=2} und erhalten z2=z0−q1z1=5+i−4=1+i{\displaystyle z_{2}=z_{0}-q_{1}z_{1}=5+\mathrm {i} -4=1+\mathrm {i} }. Der nächste Schritt ergibt z1z2=21+i=1−i{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {2}{1+\mathrm {i} }}=1-\mathrm {i} }, d. h., der Rest ist z3=0{\displaystyle z_{3}=0}: Der Algorithmus bricht ab und wir erhalten als ggT (5+i,2)=z2=1+i_{\displaystyle {\underline {(5+\mathrm {i} ,2)=z_{2}=1+\mathrm {i} }}}.

Kongruenzen und Restklassen

Zwei gaußsche Zahlen z1,z2{\displaystyle z_{1},z_{2}} heißen kongruent bezüglich eines gaußschen Moduls z0{\displaystyle z_{0}}, wenn es eine gaußsche Zahl q{\displaystyle q} gibt mit z1−z2=qz0{\displaystyle z_{1}-z_{2}=qz_{0}}. Man schreibt dafür z1≡z2(modz0){\displaystyle z_{1}\equiv z_{2}{\pmod {z_{0}}}}. Dann gibt es auch einen gemeinsamen Rest r{\displaystyle r} mit z1=q1z0+r,z2=q2z0+r{\displaystyle z_{1}=q_{1}z_{0}+r,\,z_{2}=q_{2}z_{0}+r}. Wie oben kann man die Faktoren q1,q2{\displaystyle q_{1},q_{2}} so bestimmen, dass |r|≤|z0|2{\displaystyle |r|\leq {\frac {|z_{0}|}{\sqrt {2}}}} gilt.

Die Kongruenzrelation Rz0{\displaystyle R_{z_{0}}} nach dem Modul z0{\displaystyle z_{0}} induziert im Gaußschen Zahlring Z[i]{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]} eine Klasseneinteilung Z[i]/Rz0{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]/R_{z_{0}}}. Man definiert a¯{\displaystyle {\bar {a}}} als die Menge aller gaußschen Zahlen z{\displaystyle z}, für die gilt: z≡a(modz0){\displaystyle z\equiv a{\pmod {z_{0}}}}. Die Menge a¯{\displaystyle {\bar {a}}} nennt man eine Restklasse modulo z0{\displaystyle z_{0}}. Damit gilt:

a¯=b¯{\displaystyle {\bar {a}}={\bar {b}}} genau dann, wenn a≡b(modz0){\displaystyle a\equiv b{\pmod {z_{0}}}}

Addition und Multiplikation von Kongruenzen sind sehr einfach: Aus a1≡b1(modz0){\displaystyle a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {z_{0}}}} und a2≡b2(modz0){\displaystyle a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {z_{0}}}} folgt:

a1+a2≡b1+b2(modz0){\displaystyle a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {z_{0}}}}
a1⋅a2≡b1⋅b2(modz0){\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}\equiv b_{1}\cdot b_{2}{\pmod {z_{0}}}}

Das zeigt, dass die Definitionen

a¯+b¯:=a+b¯{\displaystyle {\bar {a}}+{\bar {b}}:={\overline {a+b}}}
a¯⋅b¯:=ab¯{\displaystyle {\bar {a}}\cdot {\bar {b}}:={\overline {ab}}}

für die Summe und das Produkt von Restklassen wohldefiniert (d. h. repräsentantenunabhängig) und daher gerechtfertigt sind. Die Menge Z[i]/Rz0{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]/R_{z_{0}}} der Restklassen bildet dann mit diesen Operationen einen kommutativen Ring mit 0¯{\displaystyle {\bar {0}}} als Nullelement und 1¯{\displaystyle {\bar {1}}} als Einselement, den sogenannten Restklassenring modulo z0{\displaystyle z_{0}}.

Beispiele:

  1. Es gibt genau zwei Restklassen zum Modul z0=1+i{\displaystyle z_{0}=1+\mathrm {i} }, nämlich das Hauptideal 0¯={0,±2,±4,…,±1±i,±3±i,…}{\displaystyle {\bar {0}}=\{0,\pm 2,\pm 4,\dotsc ,\pm 1\pm \mathrm {i} ,\pm 3\pm \mathrm {i} ,\dotsc \}} aller Vielfachen z⋅(1+i){\displaystyle z\cdot (1+\mathrm {i} )} des Moduls und 1¯={±1,±3,…,±i,±2±i,…}{\displaystyle {\bar {1}}=\{\pm 1,\pm 3,\dotsc ,\pm \mathrm {i} ,\pm 2\pm \mathrm {i} ,\dotsc \}}, die ein Schachbrettmuster in der gaußschen Zahlenebene bilden. Sie können als Erweiterung der geraden bzw. ungeraden natürlichen Zahlen angesehen und deshalb als (un)gerade gaußsche Zahlen bezeichnet werden (Gauß unterteilt die geraden Zahlen noch in halbgerade und gerade, d. h. durch 2 teilbare).
  2. Zum gaußschen Modul z0=2{\displaystyle z_{0}=2} gibt es genau vier Restklassen, nämlich 0¯,1¯,i¯,1+i¯{\displaystyle {\bar {0}},{\bar {1}},{\bar {\mathrm {i} }},{\overline {1+\mathrm {i} }}}. (Man beachte, dass z. B. 1+i≡±1±i(mod2){\displaystyle 1+\mathrm {i} \equiv \pm 1\pm \mathrm {i} {\pmod {2}}} gilt.)

Vollständige Restsysteme

Um alle Restklassen zu einem Modul z0{\displaystyle z_{0}} zu bestimmen, kann man mit der Abbildung z(s,t)=(s+it)z0{\displaystyle z(s,t)=(s+\mathrm {i} t)z_{0}} ein quadratisches Gitter über die komplexe Zahlenebene legen. Die Gitterlinien seien die Geraden mit s=±12,±32,…{\displaystyle s=\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\dotsc } und t∈R{\displaystyle t\in \mathbb {R} } bzw. t=±12,±32,…,s∈R{\displaystyle t=\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\dotsc ,s\in \mathbb {R} }. Sie zerteilen die Ebene in Quadrate Qmn{\displaystyle Q_{mn}} (mit ganzzahligen m,n{\displaystyle m,n}) s=[m−12,m+12),t=[n−12,n+12){\displaystyle s=\left[m-{\frac {1}{2}},m+{\frac {1}{2}}\right),t=\left[n-{\frac {1}{2}},n+{\frac {1}{2}}\right)}. Die vier Eckpunkte von Q00{\displaystyle Q_{00}} sind die assoziierten Punkte ±1±i2z0{\displaystyle {\frac {\pm 1\pm i}{2}}z_{0}}. Wenn z0{\displaystyle z_{0}} eine gerade gaußsche Zahl ist, sind alle vier gaußsche Zahlen (und auch kongruent zueinander), ansonsten keine. Im ersten Fall nehmen wir z. B. nur den Eckpunkt −1−i2z0{\displaystyle {\frac {-1-\mathrm {i} }{2}}z_{0}} als zu Q00{\displaystyle Q_{00}} gehörig. Innerhalb jedes Quadrates sind alle gaußschen Zahlen inkongruent, wenn man jeweils die oberen Grenzen ausschließt: s<m+12,t<n+12{\displaystyle s<m+{\frac {1}{2}},t<n+{\frac {1}{2}}} (wenn auf den Grenzlinien gaußsche Zahlen liegen, dann immer paarweise kongruente Zahlen).

Das Quadrat Q00{\displaystyle Q_{00}} beschreibt damit alle minimalen Reste, in dem Sinne, dass alle anderen Elemente in den Restklassen betragsmäßig nicht kleiner sind (Gauß bezeichnet sie als absolut kleinste Reste).

Daraus lässt sich mit einfachen geometrischen Überlegungen ableiten, dass die Anzahl der Restklassen zu einem gegebenen Modul z0=m+ni{\displaystyle z_{0}=m+n\mathrm {i} } gleich seiner Norm N(z0):=|z0|2=m2+n2{\displaystyle N(z_{0}):=|z_{0}|^{2}=m^{2}+n^{2}} ist (bei den natürlichen Zahlen ist die Anzahl der Restklassen zu einem Modul m{\displaystyle m} trivialerweise gleich dem Betrag |m|{\displaystyle |m|}).

Man sieht sofort, dass alle Quadrate deckungsgleich sind (inklusive der Gitterpunkte). Sie haben die Seitenlänge |z0|{\displaystyle |z_{0}|}, also die Fläche F=|z0|2=m2+n2{\displaystyle F=|z_{0}|^{2}=m^{2}+n^{2}} und in allen liegt die gleiche Anzahl gaußscher Zahlen, die wir mit Ng{\displaystyle N_{g}} bezeichnen. Allgemein ist die Zahl von Gitterpunkten in einem beliebigen Quadrat der Fläche A{\displaystyle A} bestimmt durch A+O(A){\displaystyle A+O({\sqrt {A}})}. Betrachten wir nun ein großes Quadrat aus k×k{\displaystyle k\times k} Quadraten Qmn{\displaystyle Q_{mn}}, dann liegen darin folglich stets k2F+O(kF){\displaystyle k^{2}F+O(k{\sqrt {F}})} Gitterpunkte. Es gilt also k2Ng=k2F+O(kF){\displaystyle k^{2}N_{g}=k^{2}F+O(k{\sqrt {F}})}, was im Limes k→∞{\displaystyle k\to \infty } Ng=F=m2+n2_{\displaystyle {\underline {N_{g}=F=m^{2}+n^{2}}}} ergibt.

Prime Restklassengruppe und eulersche Phi-Funktion

Viele Sätze (und Beweise) für Moduln ganzer Zahlen lassen sich direkt auf Moduln gaußscher Zahlen übertragen, indem man jeweils den Betrag des Moduls durch die Norm ersetzt. Insbesondere gilt das für die prime Restklassengruppe und den Satz von Fermat-Euler, wie hier kurz ergänzt werden soll.

Die prime Restklassengruppe (pRG) des Restklassenringes modulo z{\displaystyle z} ist die multiplikative Gruppe seiner Einheiten. Sie besteht aus allen Restklassen a¯{\displaystyle {\bar {a}}} mit zu z{\displaystyle z} teilerfremdem a{\displaystyle a}, für die also gilt: (a,z)=1{\displaystyle (a,z)=1}. Die Anzahl ihrer Elemente sei bezeichnet als ϕ(z){\displaystyle \phi (z)} (analog zur eulerschen Phi-Funktion φ(m){\displaystyle \varphi (m)} für ganze Zahlen m{\displaystyle m}). Für Primelemente ergibt sich sofort ϕ(p)=|p|2−1{\displaystyle \phi (p)=|p|^{2}-1} und für beliebige (zusammengesetzte) gaußsche Zahlen z{\displaystyle z} kann man die eulersche Produktformel

ϕ(z)=|z|2∏pm|z(1−1|pm|2){\displaystyle \phi (z)=|z|^{2}\prod _{p_{m}|z}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|^{2}}}\right)}

ableiten, wobei das Produkt über alle Primteiler von z=ik∏mpmνm{\displaystyle z=\mathrm {i} ^{k}\prod _{m}p_{m}^{\nu _{m}}} (mit νm>0{\displaystyle \nu _{m}>0}) zu erstrecken ist.

Auch der wichtige Satz von Fermat-Euler ist sofort übertragbar:

Aus (a,z)=1{\displaystyle (a,z)=1} folgt aϕ(z)≡1(modz){\displaystyle a^{\phi (z)}\equiv 1{\pmod {z}}}.

Mit Hilfe dieses Satzes kann man z. B. einige diophantische Gleichungen für gaußsche Zahlen explizit lösen. Beispielsweise seien x,y{\displaystyle x,y} als Lösungen der linearen Gleichung

ax+by=c{\displaystyle ax+by=c}

für gegebene gaußsche Zahlen a,b,c{\displaystyle a,b,c} gesucht. Dafür kann man o. B. d. A. (a,b)=1{\displaystyle (a,b)=1} annehmen, da jeder gemeinsame Teiler von a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b} auch ein Teiler von c{\displaystyle c} sein muss (andernfalls hat die Gleichung keine Lösung) und deshalb herausgekürzt werden kann.

Dazu betrachtet man diese Gleichung modulo b{\displaystyle b}, was ergibt ax≡c(modb){\displaystyle ax\equiv c{\pmod {b}}}. Der Satz von Fermat-Euler liefert dann eine explizite Lösung x{\displaystyle x}, nämlich

x≡caϕ(b)−1(modb){\displaystyle x\equiv ca^{\phi (b)-1}{\pmod {b}}},

d. h. alle gaußsche Zahlen der Form x=caϕ(b)−1+ub{\displaystyle x=ca^{\phi (b)-1}+ub} mit beliebigen gaußschen Faktoren u{\displaystyle u}. Eingesetzt in die Ausgangsgleichung ergibt das

y=c1−aϕ(b)b−ua{\displaystyle y=c{\frac {1-a^{\phi (b)}}{b}}-ua},

was nach dem Satz von Fermat-Euler ebenfalls eine gaußsche Zahl ist.

Ungelöste Probleme

Die meisten der ungelösten Probleme haben mit der Verteilung der gaußschen Primzahlen in der Ebene zu tun.

  • Das Gaußsche Kreisproblem (engl. Gauss’s circle problem) beschäftigt sich nicht mit gaußschen Zahlen an sich, sondern fragt nach der Anzahl der Gitterpunkte innerhalb eines Kreises mit gegebenem Radius um den Koordinatenursprung. Das ist äquivalent der Bestimmung der Anzahl gaußscher Zahlen mit der Norm kleiner als ein gegebener Wert.

Zwei ungelöste Probleme über gaußsche Primzahlen sind z. B.

  • Auf den reellen und imaginären Koordinatenlinien liegen unendlich viele gaußsche Primzahlen 3, 7, 11, 19, … und deren Assoziierte. Gibt es weitere Geraden, auf denen unendlich viele Primzahlen liegen? Insbesondere: Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form 1+ki{\displaystyle 1+k\mathrm {i} }?
  • Ist es möglich, durch die Ebene der gaußschen Zahlen bis ins Unendliche zu wandern, indem man die gaußschen Primzahlen als Stützstellen benutzt und dabei nur Schritte begrenzter Länge macht? Das ist als Gaußsches Grabenproblem (engl. Gaussian moat problem) bekannt; es wurde 1962 aufgestellt von Basil Gordon und ist noch ungelöst.

Literatur

  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76490-8. 
  • Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6. 

Weblinks

Commons: Gaußsche Zahl – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 108. 
  2. H. Maser (Hrsg.): Carl Friedrich Gauss’ Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik. Springer, Berlin 1889, S. 534 ff.
  3. F.Lemmermeyer: 120 JAHRE HILBERTS ZAHLBERICHT, DMV, 2017
  4. Gaußsche Zahl. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8. 
  5. Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76490-8, S. 76. 
  6. Holger Brenner: Vorlesung. (PDF; 79 kB), Universität Osnabrück.
  7. Herbert Pieper: Die komplexen Zahlen. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00406-0, S. 119. 
  8. E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 17. 
  9. Ribenboim, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV (Hardy & Littlewood's conjecture E and F)
  10. Ellen Gethner, Stan Wagon, Brian Wick: A stroll through the Gaussian primes. In: American Mathematical Monthly. Band 105, Nr. 4, 1998, S. 327–337, doi:10.2307/2589708 (englisch, Mathematical Reviews 1614871, zbMATH 0946.11002). 
  11. Richard K. Guy: Unsolved problems in number theory. 3. Auflage. Springer, 2004, ISBN 978-0-387-20860-2, S. 55–57 (englisch, zbMATH 1058.11001). 

Autor: www.NiNa.Az

Veröffentlichungsdatum: 16 Jul 2025 / 12:41

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Die gaussschen Zahlen nach Carl Friedrich Gauss englisch Gaussian integers sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen in den komplexen Zahlen Jede gausssche Zahl liegt auf einem ganzzahligen Koordinatenpunkt der komplexen Ebene Die gaussschen ganzen Zahlen bilden den Ganzheitsring des quadratischen Zahlkorpers Q i displaystyle mathbb Q mathrm i des Korpers der gaussschen rationalen Zahlen englisch Gaussian rationals Ausserdem bilden die gaussschen Zahlen einen euklidischen Ring und damit insbesondere einen faktoriellen Ring Gausssche Zahlen als Gitterpunkte in der komplexen Zahlenebene Eine etwas kompliziertere Verallgemeinerung ganzer Zahlen die ebenfalls in die komplexe Ebene eingebettet werden konnen sind die Eisenstein Zahlen Geschichtlicher HintergrundGausssche Zahlen wurden von Gauss in der Abhandlung Theorie der biquadratischen Reste Zweite Abhandlung 1832 in Latein erstmals eingefuhrt Das quadratische Reziprozitatsgesetz das Gauss 1796 zum ersten Mal beweisen konnte verknupft die Losbarkeit der Kongruenz x2 q modp displaystyle x 2 equiv q pmod p mit der Losbarkeit von x2 p modq displaystyle x 2 equiv p pmod q Ebenso verknupft das kubische Reziprozitatsgesetz die Losbarkeit der Kongruenz x3 q modp displaystyle x 3 equiv q pmod p mit der von x3 p modq displaystyle x 3 equiv p pmod q und das biquadratische Reziprozitatsgesetz ist die Verknupfung von x4 q modp displaystyle x 4 equiv q pmod p mit x4 p modq displaystyle x 4 equiv p pmod q Gauss fand heraus dass sich das biquadratische Reziprozitatsgesetz und die Erganzungen dazu wesentlich einfacher als Aussagen uber ganze komplexe Zahlen d h gausssche Zahlen formulieren und beweisen lassen In einer Fussnote S 541 erwahnt er dass die Eisenstein Zahlen der naturgemasse Bereich fur Theoreme uber kubische Reziprozitat sind und ahnliche Erweiterungen der ganzen Zahlen die geeigneten Bereiche zur Untersuchung von hoheren Potenzen Diese Abhandlung enthalt nicht nur die Einfuhrung gaussscher Zahlen sondern auch der Begriffe Norm Einheit primar und Assoziierte die heute in der algebraischen Zahlentheorie Standard sind Siehe dazu auch die Festschrift zum Zahlbericht DefinitionEine gausssche Zahl g displaystyle g ist durch g a bi displaystyle g a b mathrm i gegeben wobei a displaystyle a und b displaystyle b ganze Zahlen sind Der Ring der gaussschen Zahlen heisst auch Gaussscher Zahlring und wird mit Z i displaystyle mathbb Z mathrm i bezeichnet Er entsteht also aus Z displaystyle mathbb Z durch Adjunktion der imaginaren Einheit i displaystyle mathrm i Die gaussschen Zahlen sind die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten in der gaussschen Zahlenebene Sie bilden ein zweidimensionales Gitter PrimelementeDas Spektrum von Z i displaystyle mathbb Z mathrm i veranschaulicht diese Zusammenhange Die Kleckse entsprechen den Primelementen im Ring der gaussschen Zahlen die in der Faktorisierung der jeweils unten angegebenen Primzahl auftauchen Primelemente in der komplexen Ebene Durch Multiplikation mit den Einheiten entsteht die Rotationssymmetrie um 90 Weil mit a ib displaystyle a mathrm i b auch b ia displaystyle pm b mathrm i a Primelemente sind liegen die Primelemente zusatzlich symmetrisch zu den Winkelhalbierenden a b displaystyle a pm b zwischen der reellen und der imaginaren Achse Wie in jedem Ring kann man analog zu Z displaystyle mathbb Z auch in Z i displaystyle mathbb Z mathrm i Zahlentheorie betreiben Insbesondere lassen sich Primelemente als Verallgemeinerung des Begriffes Primzahl definieren Die Eindeutigkeit der Primfaktordarstellung gilt dann auch fur die gaussschen Zahlen Die Primelemente im Ring der Gaussschen Zahlen Z i displaystyle mathbb Z mathrm i sind bis auf die Einheitsfaktoren 1 i displaystyle pm 1 pm mathrm i genau die Primzahlen der Form 4k 3 k N0 displaystyle 4k 3 k in mathbb N 0 das Element 1 i displaystyle 1 mathrm i und die Elemente a b i a b Z displaystyle a b cdot mathrm i a b in mathbb Z fur die a2 b2 p displaystyle a 2 b 2 p eine Primzahl ist die man als p 4k 1 k Z displaystyle p 4k 1 k in mathbb Z schreiben kann Die Primelemente im Ring der gaussschen Zahlen haben einen engen Bezug zu den gewohnlichen Primzahlen Sie zerfallen in drei Klassen jeweils bis auf Assoziiertheit d h bis auf Multiplikation mit 1 displaystyle pm 1 und i displaystyle pm mathrm i den Einheiten des Ringes der gaussschen Zahlen Der doppelte Primfaktor von 2 Die Zahl 2 kann als Produkt der Primelemente 1 i displaystyle 1 mathrm i und 1 i displaystyle 1 mathrm i geschrieben werden die sich aber wegen 1 i i 1 i displaystyle 1 mathrm i mathrm i cdot 1 mathrm i nur um eine Einheit unterscheiden Also gilt 1 i 1 i i3 1 i 2 displaystyle 1 mathrm i 1 mathrm i mathrm i 3 cdot 1 mathrm i 2 und die bis auf Assoziiertheit der Faktoren eindeutige Primfaktorzerlegung 2 i3 1 i 2 displaystyle 2 mathrm i 3 cdot 1 mathrm i 2 zeigt dass 2 zum Quadrat des Primelements 1 i displaystyle 1 mathrm i assoziiert ist 2 ist verzweigt Faktoren von Primzahlen der Form 4k 1 Ist p displaystyle p eine Primzahl der Form 4k 1 displaystyle 4k 1 mit einer naturlichen Zahl k displaystyle k so lasst sich p displaystyle p auf im Wesentlichen eindeutige Weise als Summe zweier Quadratzahlen schreiben siehe Zwei Quadrate Satz p a2 b2 displaystyle p a 2 b 2 mit gewissen a b Z displaystyle a b in mathbb Z Dann ist p a bi a bi displaystyle p a b mathrm i a b mathrm i die Primfaktorzerlegung von p displaystyle p p displaystyle p selbst ist also kein Primelement im Ring der gaussschen Zahlen sondern Produkt zweier konjugierter Primelemente p displaystyle p ist zerlegt Beispielsweise ist 5 2 i 2 i displaystyle 5 2 mathrm i 2 mathrm i kein Primelement aber 2 i displaystyle 2 mathrm i und 2 i displaystyle 2 mathrm i sind zwei Primelemente Primzahlen der Form 4k 3 Ist p displaystyle p eine Primzahl der Form 4k 3 displaystyle 4k 3 mit einer naturlichen Zahl k displaystyle k so ist p displaystyle p auch im Ring der gaussschen Zahlen ein Primelement p displaystyle p bleibt prim es ist trage Die drei Falle beschreiben das Verhalten von Primelementen bei Erweiterung des Korpers der rationalen Zahlen zum Korper der Gaussschen Zahlen entstanden durch Adjunktion der imaginaren Einheit Primfaktorzerlegung Eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Primfaktorzerlegung fur eine beliebige gausssche Zahl z 0 displaystyle z neq 0 ergibt sich z B wenn man p1 1 i displaystyle p 1 1 mathrm i setzt und von den vier Assoziierten jedes ungeraden Primelements pm displaystyle p m das durch die Forderung pm 1 mod2 2i displaystyle p m equiv 1 pmod 2 2 mathrm i s w u Kongruenzen und Restklassen eindeutig bestimmte sog primare auswahlt und diese nach ihrer Norm sortiert p2 1 2i p3 1 2i p4 3 p5 3 2i p6 3 2i p7 1 4i p8 1 4i p15 7 displaystyle begin aligned amp p 2 1 2 mathrm i quad p 3 1 2 mathrm i quad p 4 3 quad p 5 3 2 mathrm i quad amp p 6 3 2 mathrm i quad p 7 1 4 mathrm i quad p 8 1 4 mathrm i dots p 15 7 dotsc end aligned offensichtlich sind hierbei die naturlichen Primzahlen der Form 4k 3 displaystyle 4k 3 immer mit negativem Vorzeichen zu versehen da 4k 3 3 1 mod2 2i displaystyle 4k 3 equiv 3 equiv 1 pmod 2 2 mathrm i Die obige Definition erfullt offensichtlich ein wichtiges Kriterium Das Produkt beliebiger primarer Gaussscher Zahlen ist ebenfalls eine primare Zahl Damit erhalt man z ik m Npmnm displaystyle z mathrm i k prod m in mathbb N p m nu m mit k 0 3 displaystyle k 0 dotsc 3 und nm 0 displaystyle nu m geq 0 darin gilt naturlich nur fur endlich viele Exponenten nm gt 0 displaystyle nu m gt 0 Eine andere haufig benutzte Primfaktordarstellung ergibt sich wenn man darin die uberflussigen Faktoren pk0 1 displaystyle p k 0 1 weglasst und nur die Primteiler von z displaystyle z berucksichtigt d h alle pm displaystyle p m mit nm gt 0 displaystyle nu m gt 0 Dies seien die Zahlen qn p1 n 1 r displaystyle q n in p 1 dots n 1 dots r Damit lautet die Darstellung z ik n 1rqnmn displaystyle z mathrm i k prod n 1 r q n mu n mit k 0 3 displaystyle k 0 dotsc 3 und mn gt 0 displaystyle mu n gt 0 Euklidischer Algorithmus und grosster gemeinsamer Teiler ggT Jede gausssche Zahl g 0 displaystyle g neq 0 hat vier Assoziierte g ig displaystyle pm g pm mathrm i g die durch Multiplikation mit den Einheiten gebildet werden und in allen vier Quadranten der komplexen Zahlenebene liegen Ein grosster gemeinsamer Teiler ggT zweier gaussscher Zahlen a b displaystyle a b ist definiert als gausssche Zahl t displaystyle t mit folgenden zwei Eigenschaften t a displaystyle t mid a und t b displaystyle t mid b d h t displaystyle t ist ein gemeinsamer Teiler von a displaystyle a und b displaystyle b Aus s a displaystyle s mid a und s b displaystyle s mid b folgt s t displaystyle s mid t d h Jeder gemeinsame Teiler von a displaystyle a und b displaystyle b teilt auch t displaystyle t Daraus folgt Alle gaussschen Zahlen t displaystyle t mit diesen Eigenschaften bei gegebenem a b displaystyle a b sind assoziiert Der ggT ist somit eine im Wesentlichen bis auf Assoziierte eindeutig bestimmte gausssche Zahl mit der ublichen Schreibweise t a b displaystyle t a b Sofern die Primfaktorzerlegung von a displaystyle a und b displaystyle b bekannt ist also a ik mpmnm b in mpmmm displaystyle a i k prod m p m nu m b i n prod m p m mu m ist der ggT naturlich sofort gegeben durch a b mpmlm displaystyle a b prod m p m lambda m mit lm min nm mm displaystyle lambda m mathrm min nu m mu m Veranschaulichung des Euklidischen Algorithmus Andernfalls kann man den euklidischen Algorithmus benutzen Zur Bestimmung des ggT zweier Zahlen z0 z1 displaystyle z 0 z 1 lauft er ahnlich ab wie fur ganze Zahlen Es gilt z0 0 z0 displaystyle z 0 0 z 0 fur alle z0 displaystyle z 0 also insbesondere 0 0 0 displaystyle 0 0 0 Und fur z1 0 displaystyle z 1 neq 0 gibt es ein Paar gaussscher Zahlen q1 z2 displaystyle q 1 z 2 mit z0 q1z1 z2 displaystyle z 0 q 1 z 1 z 2 und z2 lt z1 displaystyle z 2 lt z 1 Man bestimmt dazu q1 m ni displaystyle q 1 m n mathrm i als diejenige gausssche Zahl die dem Bruch 3 z0z1 displaystyle xi frac z 0 z 1 am nachsten liegt Dafur gilt stets m Re 3 12 displaystyle left m operatorname Re xi right leq frac 1 2 und n Im 3 12 displaystyle left n operatorname Im xi right leq frac 1 2 also d q1 3 dmax 12 displaystyle d left q 1 xi right leq d text max frac 1 sqrt 2 und folglich z2 z1 2 displaystyle z 2 leq frac z 1 sqrt 2 Falls z2 0 displaystyle z 2 neq 0 wird das fortgesetzt mit z1 q2z2 z3 displaystyle z 1 q 2 z 2 z 3 und z3 lt z2 displaystyle z 3 lt z 2 usw bis zn 1 0 displaystyle z n 1 0 Dann ist zn displaystyle z n der gesuchte ggT z0 z1 zn displaystyle z 0 z 1 z n Beispiel Gesucht sei der ggT der gaussschen Zahlen z0 5 i z1 2 displaystyle z 0 5 mathrm i z 1 2 Der Quotient ist z0z1 2 5 0 5i displaystyle frac z 0 z 1 2 5 0 5 mathrm i Fur q1 displaystyle q 1 kommen damit die vier gaussschen Zahlen 2 2 i 3 3 i displaystyle 2 2 mathrm i 3 3 mathrm i in Frage Wir wahlen z B q1 2 displaystyle q 1 2 und erhalten z2 z0 q1z1 5 i 4 1 i displaystyle z 2 z 0 q 1 z 1 5 mathrm i 4 1 mathrm i Der nachste Schritt ergibt z1z2 21 i 1 i displaystyle frac z 1 z 2 frac 2 1 mathrm i 1 mathrm i d h der Rest ist z3 0 displaystyle z 3 0 Der Algorithmus bricht ab und wir erhalten als ggT 5 i 2 z2 1 i displaystyle underline 5 mathrm i 2 z 2 1 mathrm i Kongruenzen und RestklassenZwei gausssche Zahlen z1 z2 displaystyle z 1 z 2 heissen kongruent bezuglich eines gaussschen Moduls z0 displaystyle z 0 wenn es eine gausssche Zahl q displaystyle q gibt mit z1 z2 qz0 displaystyle z 1 z 2 qz 0 Man schreibt dafur z1 z2 modz0 displaystyle z 1 equiv z 2 pmod z 0 Dann gibt es auch einen gemeinsamen Rest r displaystyle r mit z1 q1z0 r z2 q2z0 r displaystyle z 1 q 1 z 0 r z 2 q 2 z 0 r Wie oben kann man die Faktoren q1 q2 displaystyle q 1 q 2 so bestimmen dass r z0 2 displaystyle r leq frac z 0 sqrt 2 gilt Die Kongruenzrelation Rz0 displaystyle R z 0 nach dem Modul z0 displaystyle z 0 induziert im Gaussschen Zahlring Z i displaystyle mathbb Z mathrm i eine Klasseneinteilung Z i Rz0 displaystyle mathbb Z mathrm i R z 0 Man definiert a displaystyle bar a als die Menge aller gaussschen Zahlen z displaystyle z fur die gilt z a modz0 displaystyle z equiv a pmod z 0 Die Menge a displaystyle bar a nennt man eine Restklasse modulo z0 displaystyle z 0 Damit gilt a b displaystyle bar a bar b genau dann wenn a b modz0 displaystyle a equiv b pmod z 0 Addition und Multiplikation von Kongruenzen sind sehr einfach Aus a1 b1 modz0 displaystyle a 1 equiv b 1 pmod z 0 und a2 b2 modz0 displaystyle a 2 equiv b 2 pmod z 0 folgt a1 a2 b1 b2 modz0 displaystyle a 1 a 2 equiv b 1 b 2 pmod z 0 a1 a2 b1 b2 modz0 displaystyle a 1 cdot a 2 equiv b 1 cdot b 2 pmod z 0 Das zeigt dass die Definitionen a b a b displaystyle bar a bar b overline a b a b ab displaystyle bar a cdot bar b overline ab fur die Summe und das Produkt von Restklassen wohldefiniert d h reprasentantenunabhangig und daher gerechtfertigt sind Die Menge Z i Rz0 displaystyle mathbb Z mathrm i R z 0 der Restklassen bildet dann mit diesen Operationen einen kommutativen Ring mit 0 displaystyle bar 0 als Nullelement und 1 displaystyle bar 1 als Einselement den sogenannten Restklassenring modulo z0 displaystyle z 0 Beispiele Es gibt genau zwei Restklassen zum Modul z0 1 i displaystyle z 0 1 mathrm i namlich das Hauptideal 0 0 2 4 1 i 3 i displaystyle bar 0 0 pm 2 pm 4 dotsc pm 1 pm mathrm i pm 3 pm mathrm i dotsc aller Vielfachen z 1 i displaystyle z cdot 1 mathrm i des Moduls und 1 1 3 i 2 i displaystyle bar 1 pm 1 pm 3 dotsc pm mathrm i pm 2 pm mathrm i dotsc die ein Schachbrettmuster in der gaussschen Zahlenebene bilden Sie konnen als Erweiterung der geraden bzw ungeraden naturlichen Zahlen angesehen und deshalb als un gerade gausssche Zahlen bezeichnet werden Gauss unterteilt die geraden Zahlen noch in halbgerade und gerade d h durch 2 teilbare Zum gaussschen Modul z0 2 displaystyle z 0 2 gibt es genau vier Restklassen namlich 0 1 i 1 i displaystyle bar 0 bar 1 bar mathrm i overline 1 mathrm i Man beachte dass z B 1 i 1 i mod2 displaystyle 1 mathrm i equiv pm 1 pm mathrm i pmod 2 gilt Vollstandige Restsysteme Alle 13 Restklassen mit ihren minimalen Resten blaue Punkte im Quadrat Q00 displaystyle Q 00 hellgrun markiert zum Modul z0 3 2i displaystyle z 0 3 2 mathrm i Eine Restklasse mit z 2 4i i modz0 displaystyle z 2 4 mathrm i equiv i pmod z 0 ist z B durch orange gelbe Punkte hervorgehoben Um alle Restklassen zu einem Modul z0 displaystyle z 0 zu bestimmen kann man mit der Abbildung z s t s it z0 displaystyle z s t s mathrm i t z 0 ein quadratisches Gitter uber die komplexe Zahlenebene legen Die Gitterlinien seien die Geraden mit s 12 32 displaystyle s pm frac 1 2 pm frac 3 2 dotsc und t R displaystyle t in mathbb R bzw t 12 32 s R displaystyle t pm frac 1 2 pm frac 3 2 dotsc s in mathbb R Sie zerteilen die Ebene in Quadrate Qmn displaystyle Q mn mit ganzzahligen m n displaystyle m n s m 12 m 12 t n 12 n 12 displaystyle s left m frac 1 2 m frac 1 2 right t left n frac 1 2 n frac 1 2 right Die vier Eckpunkte von Q00 displaystyle Q 00 sind die assoziierten Punkte 1 i2z0 displaystyle frac pm 1 pm i 2 z 0 Wenn z0 displaystyle z 0 eine gerade gausssche Zahl ist sind alle vier gausssche Zahlen und auch kongruent zueinander ansonsten keine Im ersten Fall nehmen wir z B nur den Eckpunkt 1 i2z0 displaystyle frac 1 mathrm i 2 z 0 als zu Q00 displaystyle Q 00 gehorig Innerhalb jedes Quadrates sind alle gaussschen Zahlen inkongruent wenn man jeweils die oberen Grenzen ausschliesst s lt m 12 t lt n 12 displaystyle s lt m frac 1 2 t lt n frac 1 2 wenn auf den Grenzlinien gausssche Zahlen liegen dann immer paarweise kongruente Zahlen Das Quadrat Q00 displaystyle Q 00 beschreibt damit alle minimalen Reste in dem Sinne dass alle anderen Elemente in den Restklassen betragsmassig nicht kleiner sind Gauss bezeichnet sie als absolut kleinste Reste Daraus lasst sich mit einfachen geometrischen Uberlegungen ableiten dass die Anzahl der Restklassen zu einem gegebenen Modul z0 m ni displaystyle z 0 m n mathrm i gleich seiner Norm N z0 z0 2 m2 n2 displaystyle N z 0 z 0 2 m 2 n 2 ist bei den naturlichen Zahlen ist die Anzahl der Restklassen zu einem Modul m displaystyle m trivialerweise gleich dem Betrag m displaystyle m Man sieht sofort dass alle Quadrate deckungsgleich sind inklusive der Gitterpunkte Sie haben die Seitenlange z0 displaystyle z 0 also die Flache F z0 2 m2 n2 displaystyle F z 0 2 m 2 n 2 und in allen liegt die gleiche Anzahl gaussscher Zahlen die wir mit Ng displaystyle N g bezeichnen Allgemein ist die Zahl von Gitterpunkten in einem beliebigen Quadrat der Flache A displaystyle A bestimmt durch A O A displaystyle A O sqrt A Betrachten wir nun ein grosses Quadrat aus k k displaystyle k times k Quadraten Qmn displaystyle Q mn dann liegen darin folglich stets k2F O kF displaystyle k 2 F O k sqrt F Gitterpunkte Es gilt also k2Ng k2F O kF displaystyle k 2 N g k 2 F O k sqrt F was im Limes k displaystyle k to infty Ng F m2 n2 displaystyle underline N g F m 2 n 2 ergibt Prime Restklassengruppe und eulersche Phi FunktionViele Satze und Beweise fur Moduln ganzer Zahlen lassen sich direkt auf Moduln gaussscher Zahlen ubertragen indem man jeweils den Betrag des Moduls durch die Norm ersetzt Insbesondere gilt das fur die prime Restklassengruppe und den Satz von Fermat Euler wie hier kurz erganzt werden soll Die prime Restklassengruppe pRG des Restklassenringes modulo z displaystyle z ist die multiplikative Gruppe seiner Einheiten Sie besteht aus allen Restklassen a displaystyle bar a mit zu z displaystyle z teilerfremdem a displaystyle a fur die also gilt a z 1 displaystyle a z 1 Die Anzahl ihrer Elemente sei bezeichnet als ϕ z displaystyle phi z analog zur eulerschen Phi Funktion f m displaystyle varphi m fur ganze Zahlen m displaystyle m Fur Primelemente ergibt sich sofort ϕ p p 2 1 displaystyle phi p p 2 1 und fur beliebige zusammengesetzte gausssche Zahlen z displaystyle z kann man die eulersche Produktformel ϕ z z 2 pm z 1 1 pm 2 displaystyle phi z z 2 prod p m z left 1 frac 1 p m 2 right ableiten wobei das Produkt uber alle Primteiler von z ik mpmnm displaystyle z mathrm i k prod m p m nu m mit nm gt 0 displaystyle nu m gt 0 zu erstrecken ist Auch der wichtige Satz von Fermat Euler ist sofort ubertragbar Aus a z 1 displaystyle a z 1 folgt aϕ z 1 modz displaystyle a phi z equiv 1 pmod z Mit Hilfe dieses Satzes kann man z B einige diophantische Gleichungen fur gausssche Zahlen explizit losen Beispielsweise seien x y displaystyle x y als Losungen der linearen Gleichung ax by c displaystyle ax by c fur gegebene gausssche Zahlen a b c displaystyle a b c gesucht Dafur kann man o B d A a b 1 displaystyle a b 1 annehmen da jeder gemeinsame Teiler von a displaystyle a und b displaystyle b auch ein Teiler von c displaystyle c sein muss andernfalls hat die Gleichung keine Losung und deshalb herausgekurzt werden kann Dazu betrachtet man diese Gleichung modulo b displaystyle b was ergibt ax c modb displaystyle ax equiv c pmod b Der Satz von Fermat Euler liefert dann eine explizite Losung x displaystyle x namlich x caϕ b 1 modb displaystyle x equiv ca phi b 1 pmod b d h alle gausssche Zahlen der Form x caϕ b 1 ub displaystyle x ca phi b 1 ub mit beliebigen gaussschen Faktoren u displaystyle u Eingesetzt in die Ausgangsgleichung ergibt das y c1 aϕ b b ua displaystyle y c frac 1 a phi b b ua was nach dem Satz von Fermat Euler ebenfalls eine gausssche Zahl ist Ungeloste ProblemeDie Verteilung der gaussschen Primzahlen in der Ebene Die meisten der ungelosten Probleme haben mit der Verteilung der gaussschen Primzahlen in der Ebene zu tun Das Gausssche Kreisproblem engl Gauss s circle problem beschaftigt sich nicht mit gaussschen Zahlen an sich sondern fragt nach der Anzahl der Gitterpunkte innerhalb eines Kreises mit gegebenem Radius um den Koordinatenursprung Das ist aquivalent der Bestimmung der Anzahl gaussscher Zahlen mit der Norm kleiner als ein gegebener Wert Zwei ungeloste Probleme uber gausssche Primzahlen sind z B Auf den reellen und imaginaren Koordinatenlinien liegen unendlich viele gausssche Primzahlen 3 7 11 19 und deren Assoziierte Gibt es weitere Geraden auf denen unendlich viele Primzahlen liegen Insbesondere Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form 1 ki displaystyle 1 k mathrm i Ist es moglich durch die Ebene der gaussschen Zahlen bis ins Unendliche zu wandern indem man die gaussschen Primzahlen als Stutzstellen benutzt und dabei nur Schritte begrenzter Lange macht Das ist als Gausssches Grabenproblem engl Gaussian moat problem bekannt es wurde 1962 aufgestellt von Basil Gordon und ist noch ungelost LiteraturPeter Bundschuh Einfuhrung in die Zahlentheorie 6 uberarbeitete und aktualisierte Auflage Springer Verlag Berlin u a 2008 ISBN 978 3 540 76490 8 Harald Scheid Zahlentheorie 3 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg u a 2003 ISBN 3 8274 1365 6 WeblinksCommons Gausssche Zahl Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweiseHarald Scheid Zahlentheorie 3 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg u a 2003 ISBN 3 8274 1365 6 S 108 H Maser Hrsg Carl Friedrich Gauss Arithmetische Untersuchungen uber hohere Arithmetik Springer Berlin 1889 S 534 ff F Lemmermeyer 120 JAHRE HILBERTS ZAHLBERICHT DMV 2017 Gausssche Zahl In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 Peter Bundschuh Einfuhrung in die Zahlentheorie 6 uberarbeitete und aktualisierte Auflage Springer Verlag Berlin u a 2008 ISBN 978 3 540 76490 8 S 76 Holger Brenner Vorlesung PDF 79 kB Universitat Osnabruck Herbert Pieper Die komplexen Zahlen VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1988 ISBN 3 326 00406 0 S 119 E Kratzel Zahlentheorie VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1981 S 17 Ribenboim Ch III 4 D Ch 6 II Ch 6 IV Hardy amp Littlewood s conjecture E and F Ellen Gethner Stan Wagon Brian Wick A stroll through the Gaussian primes In American Mathematical Monthly Band 105 Nr 4 1998 S 327 337 doi 10 2307 2589708 englisch Mathematical Reviews 1614871 zbMATH 0946 11002 Richard K Guy Unsolved problems in number theory 3 Auflage Springer 2004 ISBN 978 0 387 20860 2 S 55 57 englisch zbMATH 1058 11001

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